Symmediaani

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Symmediaanit (punaiset) sijaitsevat mediaaneja (siniset) isogonaalisesti eli saman suuruisen kulman verran kulmanpuolittajan (vihreät) toisella puolella. Merkinnät: symmediaanien leikkauspiste (K), kulmanpuolittajien leikkauspiste (I) ja mediaanien leikkauspiste (G).

Symmediaani on geometriassa kolmion kulmaan liittyvä jana. Symmediaani on ceviaani, joka sijaitsee siten, että mediaanin eli keskijanan ja kulmanpuolittajan välissä on yhtä suuri kulma kuin symmediaanin ja kulmanpuolittajan välissä. Kulmanpuolittaja puolittaa siten mediaanin ja symmediaanin välisen kulman. Symmediaani ja mediaani ovat siten toistensa isogonaalisia, eli "samankulmaisia", janoja.[1][2]

Janojen isogonaalisuus voidaan määrittää myös viereisistä sivuista. Tällöin mediaanin ja sivun välinen kulma on yhtä suuri kuin symmediaanin ja kulman viereisen sivun välinen kulma. Koska kulmanpuolittaja jakaa kulman puoliksi, ei määritelmän erilaisuus vaikuta symmediaanin asentoon. Mediaani on eräs symmediaani, sillä se poikkeaa itsestään eli mediaanista nolla astetta.[3][1]

Mediaanit leikkaavat toisensa kolmion painopisteessä, joka on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se luetteloidaan Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella \scriptstyle X_{2}. Myös symmediaanit leikkaavat aina toisensa yhteisessä leikkauspisteessä, jota kutsutaan symmediaaniseksi pisteeksi (merkillinen piste \scriptstyle X_{6}). [4]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Symmediaanin pituus L_a=\frac{bc}{b^2+c^2} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}[2].
  • Symmediaanin kantapiste jakaa kolmion sivun a osiin viereisten sivujen neliöiden suhteessa eli b2 : c2.[3]
  • Mikäli kolmion ympärille piiretylle ympyrälle piirretään tangentit kahden kärjen sivuamispisteeseen, leikkaavat tangentit toisensa pisteessä, joka on kolmannen kulman symmediaanilla.[3]
  • Kolmion kulman symmediaanilla olevien piteiden etäisyydet viereisiin sivuihin ovat verrannolliset kylkien pituksiin.[3]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Weisstein, Eric W.: Symmedian (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b Royster, David C.: luento 16 , University of Kentucky
  3. a b c d University College Cork: Lemoine Point (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)
  4. Weisstein, Eric W.: Symmedian Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]