Suppenemistestit

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä

Majorantti- ja minoranttiperiaate

Olkoon $0\leq x_{k}\leq y_{k}$ kaikilla $k\in$ $\mathbb {N}$. Tällöin

• Jos sarja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ suppenee, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee (majoranttiperiaate).
• Jos sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ hajaantuu, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti

Oletetaan, että $x_{k}>0$ ja $y_{k}>0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb {N}$, ja että raja-arvo $L:=\lim _{k\to \infty }{\frac {x_{k}}{y_{k}}}$ on olemassa. Tällöin

• Jos $L\in ]0,\infty [$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee, jos ja vain jos $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ suppenee.
• Jos $L=0$ ja sarja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ suppenee, niin myös $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee.
• Jos $L=\infty$ ja sarja $\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuu, niin myös $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ hajaantuu.

Juuritesti

Olkoon $x_{k}\geq 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb {N}$.

• Jos on olemassa $k_{0}$ $\in$ $\mathbb {N}$ ja vakio $q<1$ siten, että ${\sqrt[{k}]{x_{k}}}\leq q$ kaikilla $k\geq k_{0}$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee.

• Jos on olemassa $k_{0}$ $\in$ $\mathbb {N}$ ja vakio $q>1$ siten, että ${\sqrt[{k}]{x_{k}}}\geq q$ kaikilla $k\geq k_{0}$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ hajaantuu.

• Jos raja-arvo $L:=\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{x_{k}}}$ on olemassa, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Osamäärätesti

Olkoon $x_{k}\neq 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb {N}$.

• Jos on olemassa $k_{0}$ $\in$ $\mathbb {N}$ ja vakio $q<1$ siten, että $\left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\leq q$ kaikilla $k\geq k_{0}$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee.
• Jos on olemassa $k_{0}$ $\in$ $\mathbb {N}$ ja vakio $q>1$ siten, että $\left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\geq q$ kaikilla $k\geq k_{0}$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ hajaantuu.
• Jos raja-arvo $L:=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|$ on olemassa, niin sarja $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Integraalitesti

Olkoon $f:[1,\infty [\longrightarrow [0,\infty [$ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä $[1,a],a>1$. Merkitään $x_{k}=f(k)$ kaikilla $k\in \mathbb {N}$.

Tällöin sarja $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali $\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$ suppenee.

Esimerkkejä

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k+1}{k(k+2)}}$ hajaantuu, koska ${\frac {k+1}{k(k+2)}}:{\frac {1}{k}}={\frac {k+1}{k+2}}\longrightarrow 1$, kun $k\longrightarrow \infty$, ja $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ hajaantuu (vertailutesti).

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }$ $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\right)^{k}$ suppenee, koska ${\sqrt[{k}]{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\right)^{k}}}$ $={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{k}}\longrightarrow {\frac {1}{2}}$ kun $k\longrightarrow \infty$ (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet

• Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
• Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
• Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.