Suppenemistestit

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Majorantti- ja minoranttiperiaate[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kaikilla . Tällöin

  • Jos sarja suppenee, niin sarja suppenee (majoranttiperiaate).
  • Jos sarja hajaantuu, niin sarja hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että ja kaikilla , ja että raja-arvo on olemassa. Tällöin

  • Jos , niin sarja suppenee, jos ja vain jos suppenee.
  • Jos ja sarja suppenee, niin myös suppenee.
  • Jos ja sarja hajaantuu, niin myös hajaantuu.

Juuritesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kaikilla .

  • Jos on olemassa ja vakio siten, että kaikilla , niin sarja suppenee.
  • Jos on olemassa ja vakio siten, että kaikilla , niin sarja hajaantuu.
  • Jos raja-arvo on olemassa, niin sarja
    • suppenee, jos
    • hajaantuu, jos .

Osamäärätesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kaikilla .

  • Jos on olemassa ja vakio siten, että kaikilla , niin sarja suppenee.
  • Jos on olemassa ja vakio siten, että kaikilla , niin sarja hajaantuu.
  • Jos raja-arvo on olemassa, niin sarja
    • suppenee, jos
    • hajaantuu, jos .

Integraalitesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä . Merkitään kaikilla .

Tällöin sarja suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali suppenee.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • hajaantuu, koska , kun , ja hajaantuu (vertailutesti).
  • suppenee, koska kun (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
  • Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
  • Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.