Spinori

Spinori on matematiikassa ja fysiikassa esiintyvä eräiden kompleksisten vektoriavaruuksien elementti. Ryhmäteoreettisesti ajateltuna spinori on spin-ryhmän pienimmän esityksen vektori. Koska spin-ryhmä Spin(1,3) on Lorentz-muunnosten ryhmän SO(1,3) peite, on spinoreilla erittäin tärkeä osuus relativistisen kvanttimekaniikan formulaatiossa.

Spinorin käsite

Ranskalainen matemaatikko Élie Cartan löysi spinorit vuonna 1913. Myöhemmin spinorit otettiin käyttöön erityisesti kvanttimekaniikassa kuvaamaan hiukkasen sisäistä pyörimismäärää, spiniä. Paul Ehrenfest otti käyttöön nimityksen spinori kvanttifysiikassa.

Spinorin käsitettä voidaan lähestyä kahdella tavalla.

Ensimmäinen lähestymistapa on ryhmäteoreettinen. Lähtökohtaisesti tiedetään, että ortogonaaliryhmän Lie-algebralla on olemassa esityksiä, joita ei voida muodostaa tavallisen tensorilaskennan keinoin. Näitä esityksiä kutsutaan spin-esityksiksi ja niiden elementtejä spinoreiksi. Tässä katsantokannassa spinori kuuluu kiertojen ryhmän SO(n, R) peitteen esitykseen, tai yleisemmin, yleistetyn erikoisen ortogonaaliryhmän SO⁺(p, q, R) esitykseen avaruuksissa, joiden metrinen signatuuri on (p, q). Nämä peitteet ovat Lien ryhmiä ja niitä kutsutaan spin-ryhmiksi Spin(p, q).

Toinen lähestymistapa on geometrinen. Spinori voidaan muodostaa ensin eksplisiittisesti, jonka jälkeen Lien ryhmien vaikutusta siihen voidaan tutkia. Tämän lähestymistavan etuna on se, että spinorin käsite on hyvin konkreettinen alusta pitäen. Tällainen lähestyminen voi kuitenkin olla epäkäytännöllinen tarkasteltaessa spinorien monimutkaisia ominaisuuksia, kuten Fierzin identiteettejä.

Diracin spinori

Diracin spinori on yleisimmin fysiikassa esiintyvä spinori. Se on nimetty Paul Diracin mukaan. Diracin spinori on kompleksisen Cliffordin algebran Cℓ(p, q) (johon spin-ryhmä Spin(p, q) voidaan upottaa) fundamentaalin esityksen elementti. Diracin yhtälön mukaan spinorit ovat välttämättömiä relativistisen elektronin kvanttitilojen kuvauksessa. Vapaan Diracin yhtälön

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

toteuttavaa tasoaaltoratkaisua

$\psi =\omega _{\vec {p}}\;e^{-ipx}$

kutsutaan Diracin spinoriksi. Diracin spinori on bispinori. Edellä (yksiköissä $\scriptstyle c\,=\,\hbar \,=\,1$)

$\scriptstyle \psi$ on relativistinen spin-1/2 kenttä,

$\scriptstyle \omega _{\vec {p}}$ on Diracin spinori, jonka aaltovektori on ${\vec {p}}$

$\scriptstyle p\,x\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }$,

$\scriptstyle p^{\mu }\;=\;\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\}$ on nelivektori, joka kuvaa tasoaallon aaltovektoria, ja jossa $\scriptstyle {\vec {p}}$ on mielivaltainen,

$\scriptstyle x^{\mu }$ ovat nelikoordinaatit annetussa inertiaalijärjestelmässä.

Positiivisen energian ratkaisu Diracin yhtälölle voidaan kirjoittaa muotoon

$\omega _{\vec {p}}=\left(\!\!\!{\begin{array}{c}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{array}}\!\!\!\right),$

jossa

$\scriptstyle \phi$ on mielivaltainen 2-spinori,

$\scriptstyle {\vec {\sigma }}$ ovat Paulin matriisit ja

$\scriptstyle E_{\vec {p}}$ on positiivinen neliöjuuri, $\scriptstyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}$.

Weylin spinori

Weylin spinori on pienin kompleksinen ryhmän Spin(1,3) esitys. Se on samanaikaisesti myös pienin kompleksinen aliagebran Cℓ(1,3) esitys. Siinä missä Diracin spinori sisältää hiukkasen molemmat helisiteetit, Weylin spinori kuvaa ainoastaan yhtä helisiteettiä. Diracin bispinori voidaankin esittää kahden vastakkaista helisiteettiä kuvaavan 2-komponenttisen Weylin avulla:

$\Psi _{D}=\left(\!\!{\begin{array}{c}\psi _{W}\\{\bar {\chi }}_{W}\end{array}}\!\!\!\right)$

Weylin spinorit muodostavat Lorentzin ryhmän redusoitumattoman esityksen. Weylin spinori nimetty saksalaisen fyysikon ja matemaatikon Hermann Weylin mukaan.

Majorana-spinori

Majorana-spinori on pienin reaalinen ryhmän Spin(1,3) esitys. Majorana-spinori toteuttaa Majoranan yhtälön ja kuvaa hiukkasta, joka on oma antihiukkasensa. Majorana-spinori on nimetty italialaisen fyysikon Ettore Majoranan mukaan.

Lähteet

• Aitchison, I.J.R.: Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.). Institute of Physics Publishing, 2002. ISBN 0-7503-0864-8.
• Miller, David: Relativistic Quantum Mechanics (RQM) s. 26–37. physics.gla.ac.uk. Arkistoitu 19.12.2020. Viitattu 14.4.2012.
• Brauer, Richard: Spinors in n dimensions, s. 425–449. The Johns Hopkins University Press, 1935. , 57. vsk, nro 2 doi:10.2307/2371218. JSTOR:2371218.
• Cartan, Élie: Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane. Bul. Soc. Math. France, 1913, 41. vsk, s. 53–96. Artikkelin verkkoversio.
• Cartan, Élie: The theory of spinors. Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), 1966. ISBN 978-0486640709.
• Chevalley, Claude: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras. Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), 1954. ISBN 978-3540570639.
• Dirac, Paul M.: The quantum theory of the electron, s. 610–624. Määritä julkaisija!, A117. vsk
• Fulton, William: Representation theory. A first course. New York: Springer-Verlag, 1991. , 129. vsk, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics MR1153249,. ISBN 0-387-97495-4.
• Gilkey, Peter B.: Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem. Publish or Perish, 1984. ISBN 0-914098-20-9. Teoksen verkkoversio.
• Harvey, F. Reese: Spinors and Calibrations. Academic Press, 1990. ISBN 978-0123296504.
• Hitchin, Nigel J.: Harmonic spinors, s. 1–55. Määritä julkaisija!, 14. vsk MR50_#11332. doi:10.1016/0001-8708(74)90021-8.
• Lawson, H. Blaine: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989. ISBN 0-691-08542-0.
• Pauli, Wolfgang: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift für Physik, 1927, 43. vsk, nro 9–10, s. 601–632. doi:10.1007/BF01397326. Bibcode:1927ZPhy...43..601P.
• Penrose, Roger: Spinors and Space-Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34786-6.