Rollen lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Rollen lauseen havainnollistus.

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä jatkuvan ja avoimella välillä derivoituvan funktion derivaatta saa arvon jossain avoimen välin pisteessä , mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin päätepisteissä ja . Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletuksen nojalla funktio on jatkuva välillä , joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä ja , niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin pisteessä . Osoitetaan, että tässä pisteessä . Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

sillä osoittaja on positiivinen, koska on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska . Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

Tämä perustuu siihen, että funktio on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

sillä osoittaja on positiivinen, koska on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska . Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

(iii) Koska funktio on derivoituva pisteessä , niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

Kun merkitään , niin todistus on päätöksessään.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rollen lause.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.