Weierstrassin lause

Weierstrassin lause on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon.

Olkoon f: [a, b] → R jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että välillä [a, b] on luvut c ja d siten, että kaikilla välin pisteillä $x\in [a,b]$ funktion arvo pysyy arvojen f(c) ja f(d) välissä. Matemaattisesti

$\exists c,d\in [a,b]:\forall x\in [a,b]:f(c)\leq f(x)\leq f(d)$.

Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.

Todistus

Todistetaan, että löydetään suurin arvo kuten edellä mainittu. Pienin arvo löydetään vastaavasti, kun tutkitaan funktiota $-f(x)$.

Tehdään oletus, että $f$ ei ole rajoitettu välillä $[a,b]$.

Tällöin $\forall n\in \mathbb {N} \ \exists x_{n}\in [a,b]$, jolla $|f(x_{n})|\geq n$. Koska $x_{n}$ on rajoitettu, niin Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla $(x_{n})$:lla on suppeneva osajono $(x_{n_{k}})$ eli $x_{n_{k}}\to x_{0}$ kun $k\to \infty$. Koska $a\leq x_{n_{k}}\leq b\ \forall k$, niin $a\leq x_{0}\leq b$.

Koska $f$ on jatkuva $x_{0}$:ssa, niin $\exists \delta >0$ siten, että $|f(x)-f(x_{0})|<1$, kun $x\in U(x_{0},\delta )\cap [a,b]$. Koska $x_{n_{k}}\to x_{0}$ niin $\exists k_{0}$ siten, että $|x_{n_{k}}-x_{0}|<\delta$, kun $k\geq k_{0}$. Näillä $k$ pätee $|f(x_{n_{k}})-f(x_{0})|<1$. Mutta koska $|f(x_{n_{k}})|\geq n_{k}$ ja koska $n_{k}\to \infty$, kun $k\to \infty$, niin saadaan ristiriita.

Näin ollen $f$ on rajoitettu välilä $[a,b]$, mistä seuraa se, että on olemassa $M=:\sup\{f(x)\mid x\in [a,b]\}$. Nyt on osoitettava vielä $f(x)=M$ jollakin $x\in [a,b]$.

$\forall n\in \mathbb {N} \ \exists y_{n}\in [a,b]$, jolle $f(y_{n})>M-1/n$. Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla jonolla $(y_{n})$ on olemassa suppeneva osajono $(y_{n_{k}})$, jolla $y_{n_{k}}\to y_{0}$, kun $k\to \infty$. Funktion $f$ jatkuvuuden nojalla $f(y_{n_{k}})\to f(y_{0})$, kun $k\to \infty$. Toisaalta $M\geq f(y_{n_{k}})>M-1/n_{k}\geq M-1/k$, mistä seuraa kuristusperiaatteen nojalla $f(y_{0})=M$.

Aiheesta muualla

• Extreme value theorem (cut-the-knot) (englanniksi)