Luomis- ja hävitysoperaattorit

Hävitysoperaattori eli annihilaatio-operaattori on fysiikassa sellainen operaattori, joka vähentää tietystä kvanttimekaanisesta tilasta hiukkasen. Sen sijaan hävitysoperaattorin Hermiten konjugaatti eli luomisoperaattori lisää tiettyyn tilaan hiukkasen.

Kvanttimekaniikassa hävitys- ja luomisoperaattoreita käytetään tikapuuoperaattoreina kvanttimekaaniselle harmoniselle värähtelijälle, jolloin luomisoperaattori lisää ja hävitysoperaattori pienentää energiatasoa.^lähde?

Määritelmä

Merkitään luomisoperaattoria symbolilla $\scriptstyle {\hat {a}}$ ja hävitysoperaattoria symbolilla $\scriptstyle {\hat {a}}^{\dagger }$. Bosonien luomis- ja hävitysoperaattoreille pätee^lähde?

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$.

Systeemin tilaa kuvaa tilavektori $\scriptstyle |n\rangle$, joka siis on niin sanottu ket-vektori ja määrittelee hiukkasten määrän. Kun kyseessä on tyhjiö, tilavektori on muotoa $\scriptstyle |0\rangle$.

Luomis- ja hävitysoperaattorien operoidessa tilavektoria saadaan yhtälöt

${\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

${\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$.

Määritellään lukumääräoperaattori $\scriptstyle {\hat {N}}$:

${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$.

Nyt toteutuvat kommutaattorit

$[{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}$

$[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }$.

Lukumääräoperaattorin ominaistilat $\scriptstyle |n\rangle$ merkitään

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$.

Energian ominaistilat merkitään

$H|n\rangle =E_{n}|n\rangle$,

missä siis $\scriptstyle E_{n}$ on energian ominaisarvot, eli ainoat arvot, joita energia voi systeemissä saada.