Konvoluutio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion ja välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion . Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

Konvoluution ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

  • Assosiatiivisuus
  • Distributiivisuus
  • Kommutatiivisuus
  • Skalaarimonikerta

Konvoluutioteoreema[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

,

missä ja ovat funktioiden ja Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.