Z-muunnos

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Z-muunnos on digitaalisen signaalinkäsittelyn työkalu, joka on diskreettiaikainen versio analogisessa sähkötekniikassa käytettävälle Laplace-muunnokselle. Z-muunnos on yleistetty tapaus diskreettiaikaiselle Fourier-muunnokselle. Muunnoksella voidaan siirtyä taajuustasoon, sitten poistaa sieltä vähemmän merkitsevät, vaimeat taajuudet ja siirtyä sitten käänteismuunnoksella takaisin aikatasoon. Syy siihen, että näin tehdään, on lähinnä tiedonsiirrollinen: siirtolinjojen kapasiteetti on niukka. Myös tiedon tallennus (esim. MP3) tulee edulliseksi.


Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (jatkuva-aikaisesta signaalista näytteistetty so. poimittu) lukujono muotoa

.

Lukujonon ,Z-muunnos [1] määritellään

.

Muunnosta kutsutaan jonon z-tasoesitykseksi. Muuttuja on mielivaltainen kompleksiluku. Geometrisesti voidaan ajatella, että tässä operaatiossa projisoidaan kaksi ääretönulotteista vektoria toisiinsa. Z-muunnos voidaan siis esittää sisätulona

,

missä vektorit ja saadaan muodostamalla näytteistetyistä sarjoista ja ääretönulotteiset vektorit esimerkiksi asettamalla määrittelemättömät sarjan alkiot nolliksi.

Nähdään, että z-sekvenssi on joko eksponentiaalisesti divergoiva (hajaantuva) tai konvergoiva (suppeneva), riippuen siitä, onko vai . Jos , on kyseessä diskreettiaikainen Fourier-muunnos eli z-muunnos evaluoidaan tällöin yksikköympyrän kehällä kompleksitasossa. Näin ollen Z-muunnoksen avulla tutkitaan, onko aikatason signaalissa – tai suotimessa – komponentteja, jotka joko hajautuvat tai suppenevat.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Z-muunnoksen ominaisuuksia
Esitys aikatasossa Esitys Z-tasossa
Viivästys
Kertominen vakiolla
Kertominen :llä
Konjugaatio
Aikatason kääntö
Konvoluutio

Z-muunnos signaalinkäsittelyssä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Z-muunnosta käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä erityisesti lineaaristen, aikainvarianttien (Linear Time Invariant, LTI) systeemien ja suotimien yhteydessä. Jos ja ovat diskreettiaikaisia signaaleja ja jos ja ovat kompleksisia vakioita, niin

,

missä ja ovat muunnoksien ja konvergenssialueita. Näillä kompleksitason alueilla systeemi on stabiili

.

Tämä z-muunnoksen ominaisuus on lineaarisuus. Aikainvarianssi taas tarkoittaa sitä, että ajassa siirretyn tai viivästetyn sisäänmenosignaalin vaste eli ulostulo on myös viivästetty. Karkeasti voidaan sanoa, että tällöin systeemin parametrit eivät riipu ajasta; tämä ei ole kuitenkaan eksakti selitys, mutta oleellinen käytännön kannalta. Aikainvarianssi määritellään seuraavasti: jos on systeemi ja on viive-elementti, niin aikainvariantissa systeemissä

.

Suodinsuunnittelussa suotimen kertoimet pyritään valitsemaan siten, että z-muunnos konvergoi. Tällöin puhutaan stabiilista systeemistä. Diskreettiaikainen LTI-systeemi voidaan jaotella joko äärellisen impulssivasteen (engl. Finite Impulse Response, FIR) tai äärettömän impulssivasteen (engl. Infinite Impulse Response, IIR) systeemeihin. Impulssivaste on lukujono, jonka systeemi tuottaa ulostulona, kun sille annetaan syötesignaalina yksikköimpulssi. FIR-suodin esitetään äärellisenä summana

,

missä ovat suotimen kertoimet. Tällainen systeemi suppenenee aina, sillä sekä kertoimet että lukujonot ovat äärellisiä. FIR-suotimessa ei ole ulostulosignaalien takaisinkytkentää sisäänmenoon. Tällaisella suotimella voidaan toteuttaa lineaarivaiheinen suodin, jonka kaikki taajuuskomponentit viivästyvät ajallisesti yhtä paljon. Lineaarivaiheinen suodin ei siis aiheuta signaalissa vääristymistä aikatasossa. Kun halutaan toteuttaa suodin, jossa on vähemmän kertoimia, valitaan IIR-suodin. IIR-suotimissa on ulostulon takaisinkytkentöjä, jotka voivat aiheuttaa epästabiilisuuden. Suodinsuunnittelussa on kuitenkin kehitetty rutiineja, joilla epästabiilisuus eliminoidaan.

Z-muunnoksella on sovelluskohteita mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja -suodatuksessa, spektrianalyysissä, TV-tekniikassa, audiotekniikassa, korkeatasoisessa musiikissa ja tietoliikenteessä.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Hayes, Monson H.: Statistical signal processingand modeling, s. 14. John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-59431-8. (englanniksi)