Dirichlet’n konvoluutio

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Dirichlet'n konvoluutio)
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Dirichlet'n konvoluutio määritellään seuraavasti:

Tässä merkitsee, että on jaollinen :llä. Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään ja sellaisilla arvoilla, joiden tulo on .

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:

  • assosiatiivisuus:
  • distributiivisuus:
  • lukuteoreettisella funktiolla on käänteisalkio Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio seuraavasti:
Nyt funktion ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion konvoluutioksi saadaan funktio
  • Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot ja seuraavasti:
Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun :
Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.