Heisenbergin epätarkkuusperiaate

Heisenbergin epätarkkuusperiaate on Werner Heisenbergin vuonna 1927 esittämä kvanttimekaniikan perusperiaate, jonka mukaan tiettyjen observaabeliparien arvoja ei voida määrittää samanaikaisesti äärettömän tarkasti. Tällaisia observaabelipareja ovat esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä, joille epämääräisyysperiaatteen mukaan pätee kaava

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$,

missä $\Delta x$ on hiukkasen paikan epätarkkuus, $\Delta p$ hiukkasen liikemäärän epätarkkuus ja $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ on redusoitu Planckin vakio.

Toinen mahdollinen määritelmä on

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{2}}$,

missä h on Planckin vakio.

Vastaavanlainen epätarkkuusrelaatio on voimassa myös energialle ja ajalle:

$\Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}$,

missä $\Delta E$ on hiukkasen energian epätarkkuus ja $\Delta t$ sen ajanhetken epätarkkuus, jolloin hiukkasen energia oli tietyn suuruinen.

Periaate ei koske ainoastaan ihmisen tekemää mittausta, vaan sitä, miten suuria suureiden vaihtelut voivat olla kaikissa tilanteissa. Jos hiukkanen pakotetaan pieneen tilaan ulkoisen voiman avulla, jolloin sen paikan epätarkkuutta pienennetään, sen liikemäärä eli samalla nopeus väkisinkin kasvaa. Merkittävä osa voimasta, joka estää atomiytimiä ja atomeja romahtamasta tulee suoraan seurauksena Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta. Sama koskee erittäin tiheitä tähtiä kuten valkoisia kääpiöitä ja neutronitähtiä.

Esimerkkejä

2 mikrometrin (µm) halkaisijan hiukkanen, jonka massa on 10^-15 kg, on rajattu 10 µm pitkään laatikkoon. Millä tarkkuudella hiukkasen nopeus voidaan määrittää?

Δx = 2 ∙ 10^-6 m ja Δp_x ≈ h / (2 Δx). Nopeusväli eli nopeuden epätarkkuus on

$\Delta v_{x}={\frac {\Delta p_{x}}{m}}\approx {\frac {h}{2m\Delta x}}={\frac {6.626\cdot 10^{-34}\ Js}{2(1\cdot 10^{-15}\ kg)\cdot (2\cdot 10^{-6}\ m)}}\approx 1.66\cdot 10^{-13}\ m/s$

Jos hiukkanen koetetaan saada asettumaan keskelle laatikkoa paikalleen eli v_x = 0 m/s, ei sen nopeuden voitaisi varmuudella sanoa olevan nolla, vaan sen nopeus laatikossa olisi jossakin välillä -1.33 ∙ 10^-13 m/s – 1.33 ∙ 10^-13 m/s jompaan kumpaan suuntaan. Nopeusvälin suurimmat mahdolliset nopeudet ovat kuitenkin erittäin pieniä ja hiukkanen liikkuu sadassa vuodessa enimmillään ehkä vain 0.4 mm. Hiukkanen käyttäytyy käytännössä siis kuin klassisen fysiikan hiukkanen (ei-kvanttimekaaninen), jolle voidaan mitata samanaikaisesti tarkka sijainti ja liikemäärä.

Mikä olisi saman hiukkasen sijainti jos sen tiedetään olevan täysin levossa?

Tällöin hiukkasen liikemäärän tiedettäisiin olevan välillä Δp_x = 0, mutta sen sijainnin tulisi epätarkkuusperiaatteen yhtälön mukaan olla välillä Δx = ∞ eli väli olisi ääretön. Hiukkasen sijaintia ei siis voitaisi tietää millään tarkkuudella. Hiukkasen tiedetään kuitenkin rajoittuneen välille Δx = 10 µm. Hiukkasen ei voida sen rajoitetun sijainnin vuoksi koskaan tietää olevan täysin levossa: sillä on pakko olla jokin nopeus ja liikemäärä, joten kysymys on väärin.

Yhden 1s elektronikuoren omaavan atomin halkaisija on 1 ångströmi. Mikä on siinä olevan elektronin nopeus?

Elektronin massa on noin 9.11 ∙ 10^-31 kg. Atomin 1s elektronikuorta voidaan mallintaa pallomaisena alueena, jolle elektroni on rajoittunut. Elektronin nopeuden epätarkkuus on

$\Delta v_{x}={\frac {\Delta p_{x}}{m}}\approx {\frac {h}{2m\Delta x}}={\frac {6.626\cdot 10^{-34}\ Js}{2(9\cdot 11^{-31}\ kg)\cdot (1\cdot 10^{-10}\ m)}}\approx 3.6\cdot 10^{6}\ m/s$

Elektroni on keskimäärin levossa, joten sen nopeus on jossakin välillä -3.3 ∙ 10⁶ m/s – 3.3 ∙ 10⁶ m/s elektronikuorella. Suurimmat mahdolliset nopeudet ovat erittäin suuria (noin 1 % valonnopeudesta), joten elektroni käyttäytyy käytännössä kuin kvanttimekaaninen hiukkanen, jolle ei voida samanaikaisesti määrittää tarkkaa sijaintia ja liikemäärä.

Kaavan johtaminen

Ainehiukkasilla kuten elektroneilla on aaltomaista luonnetta (ne voivat esimerkiksi diffraktoida), ja niillä on hiukkasmaista luonnetta (ne voivat edetä eteenpäin sädemäisen suoraan ja niitä voidaan havaita esiintyvän yksittäin). Niitä voidaan siksi mallintaa hiukkasten ja aaltojen välimuotoisina aaltopaketteina, jotka ovat aaltomuotoisia, mutta niiden sijainti on silti rajoittunut tietylle alueelle Δx. Massan m ja nopeuden v hiukkasilla on tietty liikemäärä p=mv. Aaltopaketit eivät ole kuitenkaan täydellinen kuvaus esimerkiksi elektroneista, mutta ne ovat hyödyllinen ajatustyökalu niiden aalto-hiukkasluonteen ajatteluun.

Usean eri taajuuden päällekkäiset aallot (vaalean sinisellä) voimistavat ja heikentävät toisiaan paikoitellen eli interferoivat keskenään muodostaen aaltopaketin (punainen).

Aaltopaketti muodostuu usean eri taajuusvälin Δf päällekkäisestä aallosta. Aallot voimistavat ja heikentävät toisiaan paikoitellen eli interferoivat keskenään, ja lopputulos näkyy yksittäisten aaltojen sijaan aaltopakettina. Aaltopaketin liikkuessa jonkin tilan halki sillä kestää ohittaa jokin tilan piste aikavälin Δt verran. Fourier-analyysillä voidaan todistaa että Δf Δt ≈ 1.

Aikavälillä Δt aaltopaketti liikkuu tilan x-akselia pitkin matkan Δx, joka nopeuden kaavalla laskettuna on

$\Delta x=v_{x}\Delta t={\frac {p_{x}}{m}}\Delta t$

Yhtälö voidaan muuntaa myös muotoon

$\Delta t={\frac {m}{p_{x}}}\Delta x$

Siniaalloille pätee yhtälö λf = v, jossa λ on aallonpituus ja f on taajuus. Ainehiukkaselle λ saadaan De Broglien yhtälöllä λ = h/p, jossa h on Planckin vakio. Yhdistämällä nämä saadaan taajuudeksi

$f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {p_{x}/m}{h/p_{x}}}={\frac {p_{x}^{2}}{hm}}$

Oletetaan, että liikemäärä p_x muuntuu Δp_x verran ja taajuus Δf verran, mutta muutokset ovat erittäin pieniä eli Δp_x ≪ p_x ja Δf ≪ f. Tällöin yllä olevan yhtälön Δp_x ja Δf voidaan pitää differentiaaleina dp_x ja df. Derivoimalla yhtälö saadaan

$\Delta f={\frac {2p_{x}\Delta p_{x}}{hm}}$

Yllä oleva Δf- ja ylempänä oleva Δt-yhtälöt voidaan yhdistää

$\Delta f\Delta t={\frac {2p_{x}\Delta p_{x}}{hm}}{\frac {m\Delta x}{p_{x}}}={\frac {2}{h}}\Delta x\Delta p_{x}$

Fourier-analyysin mukaan Δf Δt ≈ 1, mutta tämä on pienin arvo, joka voidaan mitata. Todelliset mittaukset antavat suurempia epätarkkuuksia, joten yhtälö on pikemminkin Δf Δt ≥ 1. Käyttämällä tätä tietoa saadaan yllä olevasta yhtälöstä epätarkkuusperiaatteen kaava

$\Delta x\Delta p_{x}\geq {\frac {h}{2}}$

y-akselin arvoille Δy ja Δp_y pätee samanlainen kaava.

Ilmiön havainnollistaminen

Epätarkkuusperiaatetta voi tehdä uskottavaksi esimerkiksi seuraavan kokeen avulla:

Määritettäessä hiukkasen paikkaa esimerkiksi sähkömagneettisen säteilyn avulla on säteilyn aallonpituus samaa suuruusluokkaa tarkkuuden kanssa. Pienempi aallonpituus antaa suuremman tarkkuuden, mutta lisää fotonin energiaa, jolloin mitattavan hiukkasen nopeus muuttuu enemmän. Tästä muutoksesta ei saada tietoa.

Toinen koe perustuu siihen, että myös aine on aalto. Kun elektroni ammutaan hyvin kapeasta aukosta, saadaan tietoa sen paikasta. Mitä kapeampi aukko, sitä kapeampi se alue, josta elektroni on voinut kulkea. Ongelma tarkkuuden lisäämiseen tulee siitä, että elektroni alkaa käyttäytyä aaltomaisesti ja diffraktoituu kapeassa aukossa. Sen liikkeelle ja siten liikemäärälle tulee siis myös komponentti aukon tasoon. Tuloksena on siis, että mitä tarkemmin tiedetään se paikka, josta elektroni meni aukon läpi, sitä enemmän liikemäärä hajoaa aukon tasossa. Jos aukkoa suurennetaan, eli paikkatiedon tarkkuus vähenee, liikemäärän tarkkuus suurenee.

On kuitenkin huomattavaa että epätarkkuusperiaate pätee kaikille mahdollisille mittauksille, erityisesti nk. ideaaliselle mittaukselle eli sellaiselle mittaukselle, joka ei muuta systeemin tilaa ollenkaan. Näin ollen epämääräisyyden katsotaan yleisesti olevan pienten hiukkasten perusominaisuus, eli esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä ovat aina levinneet niin että epämääräisyysperiaate on voimassa.

Epätarkkuusperiaate säätää ne fysikaaliset rajat, joissa klassisen sähkömagnetismin funktioita voidaan soveltaa. Samaten sen avulla voidaan määrätä ne kokoluokat, joilla mikroprosessorin toimintaan alkaa tulla epäluotettavuutta.

Epätarkkuudesta seuraa myös nollapiste-energia, nollaa suurempi energia, joka on systeemin pienin mahdollinen energia. Kaikilla systeemeillä on nollapiste-energia.

Katso myös

• Kvanttimekaniikka
• Kaksoisrakokoe
• Schrödingerin kissa
• Aalto-hiukkasdualismi

Kirjallisuutta

• Mandl, Franz: Quantum Mechanics. Butterworths & Co., 1966 (1957).

Aiheesta muualla

• The certainty principle. (englanniksi)
• HyperPhysics – The Uncertainty Principle. (englanniksi)
• Forsell, Petri: Epätarkkuus on elämän ehto. Tiede 9/2010.