Tangenttilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmio.

Tangenttilause on euklidisen geometrian perustulos. Sen mukaan kolmiossa, jonka kaksi kulmaa ovat \alpha ja \beta ja näitä vastaavien sivujen pituudet ovat a ja b, on voimassa:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{ \tan \frac{\alpha+\beta}{2} }{ \tan \frac{\alpha-\beta}{2} }.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sinilauseen mukaan

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

Olkoon

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

jolloin

a = d \sin\alpha \text{ ja }b = d \sin\beta. \,

Tällöin

\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Kun käytetään identiteettiä

 \sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;

saadaan

\frac{a-b}{a+b} =  \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.