Moreran lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kompleksianalyysissä Moreran lauseen mukaan alueessa D määritelty jatkuva kompleksiarvoisen funktion f integraali pitkin kaikkia umpinaisia paloittain säännöllisiä polkuja. Siis

\int_D f(z)\,dz=0

kaikilla D:n umpinaisilla paloittain säännöllisillä poluilla. Siten jos f on yksinkertainen suljettu käyrä, on f holomorfinen jokaisessa D:n pisteessä.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\int_C f(z)\, dz=0

kaikilla umpinaisilla säännöllisillä poluilla C. Siten jokaiselle kahdelle yksinkertaiselle käyrälle γ1 ja γ2 D:n sisällä, joka alkaa pisteestä z0 ∈ D ja loppuu pisteeseen z ∈ D, on voimassa

\int_{\gamma_1} f(w)\,dw = \int_{\gamma_2} f(w)\,dw,

joten

F(z) = \int_{\gamma_1} f(w)\,dw = \int_{\gamma_2} f(w)\,dw

on olemassa. Tämä on holomorfinen funktio ja

f(z) = F'(z)\,

on myös holomorfinen.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Moreran lausetta voidaan käyttää osoittamaan summista tai integraaleista koostuvien funktioiden analyyttisyys. Esimerkkeinä tästä on Riemannin zeeta-funktio

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

ja Gammafunktio

\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.

Moreran lause antaa myös nopean todistuksen sille, että jono fn(z) analyyttisiä funktioita kompleksitason avoimessa joukossa D suppenee kohti funktiota f(z) tasaisesti jokaisessa kompaktissa osajoukossa K, on f analyyttinen. Ehto voidaan helposti rajoittamaan tapaukseen, missä K on suljettu kiekko.