Lotkan–Volterran yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lotkan–Volterran yhtälö on kahden epälineaarisen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön muodostama yhtälöryhmä. Se kuvaa kahden eliöpopulaation, petojen ja saaliiden, välistä riippuvuussuhdetta. Yhtälön esittivät toisistaan riippumatta amerikkalainen Alfred Lotka vuonna 1925 ja italialainen Vito Volterra vuonna 1926.

Lotkan–Volterran yhtälö on aukikirjoitettuna

\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y)
\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta x),

missä x on petojen lukumäärä, y saaliseläinten lukumäärä ja t kuvaa aikaa. Derivaatat dx/dt ja dy/dt kuvaavat luonnollisesti näiden lukumäärien muutosta ajan suhteen. Suureet α, β, γ ja δ ovat vakioita, joiden numeroarvot riippuvat peto- ja saalispopulaatioiden vuorovaikutuksen yksityiskohdista.

Tyypillisenä epälineaarisena differentiaaliyhtälöryhmänä Lotkan–Volterran yhtälön ratkaisu riippuu erittäin voimakkaasti sekä eläinten lukumäärästä alkuhetkellä, että populaatioiden välistä vuorovaikutusta kuvaavien vakioiden arvoista. Vaikka yhtälöiden ratkaisuna saatava populaatioiden koonvaihtelu on jaksollista (ellei tapahdu sukupuuttoa), sitä ei ole mahdollista lausua yleisessä muodossa esimerkiksi trigonometristen funktioiden avulla, vaan populaatiokokojen muutos on ratkaistava numeerisin menetelmin, esimerkiksi tietokoneella.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.