Lebesguen differentioituvuuslause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Lebesguen differentioituvuuslause on reaalianalyysin lause, jonka mukaan integroituvan funktion arvo voidaan laskea melkein kaikkialla laskemalla sen infinitesimaalisten keskiarvojen raja-arvo. Lause on nimetty Henri Lebesguen mukaan.

Väite[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, niin infinitesimaalinen integraali on funktio, joka kuvaa mitallisen joukon A  funktion f \cdot \mathbf{1}_A Lebesguen integraalille, missä \mathbf{1}_{A} on joukon A karakteristinen funktio. Tämä kirjoitetaan usein muodossa.

\int_{A}f\ \mathrm{d}\lambda,

missä λ on n–-uloitteinen Lebesguen mitta.

Tämän integraalin derivaatta kohdassa x on määritelmän perusteella

\lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda,

missä |B| on x-keskisen pallon B tilavuus eli Lebesguen mitta. Lisäksi B → x tarkoittaa, että pallon säde lähestyy nollaa.

Lebesguen differentioituvuuslause sanoo, että yllä oleva derivaatta on olemassa ja sen arvo on f(x) melkein jokaisessa pisteessä x ∈ Rn. Niitä pisteitä x, joissa yhtäsuuruus on voimassa, sanotaan Lebesguen pisteiksi.