Laajennettu reaalilukujoukko

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon \R kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla \overline{\R} tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.

Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.

Laskutoimitukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennetussa reaalilukujoukossa.


\begin{align}
a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\
a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\
a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\
a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\
\frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb{R}^+ \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb{R}^-
\end{align}

Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).

Sen sijaan ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)0, 0±∞, 1±∞ ja (−∞)±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.