Laajennettu reaalilukujoukko

Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon $\R$ kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla $\overline{\R}$ tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.

Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.

Laskutoimitukset

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennettussa reaalilukujoukossa.

$\begin{align} a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\ a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\ a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\ a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\ \frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb{R}^+ \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb{R}^- \end{align}$

Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).

Laskutoimituksia ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)⁰, 0^±∞, 1^±∞ ja (−∞)^±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.