Kiinalainen jäännöslause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kiinalainen jäännöslause on matematiikassa lukuteoriaan, tarkemmin sanottuna kongruensseihin liittyvä tulos.

Teoreema[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Teoreeman julkaisi ensimmäisen kerran kiinalainen matemaatikko Sun Tzu kolmannella vuosisadalla. Vuonna 1247 toinen kiinalainen matemaatikko Qin Jiushao käsitteli teoreemaa kirjassaan. Myös intialainen 600-luvun matemaatikko Brahmagupta tunsi lauseen versioita ja lause on esitetty myös Fibonaccin kirjassa Liber Abaci (1202).

Olkoot n1, n2, …, nk positiivisia kokonaislukuja jotka ovat pareittain keskenään jaottomia. Silloin mille tahansa kokonaisluvuille a1,a2, …, ak, on olemassa kokonaisluku x joka ratkaisee kongruenssiyhtälöryhmän

\begin{align}
 x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
 x &\equiv a_2 \pmod{n_2} \\
   &\vdots \\
 x &\equiv a_k \pmod{n_k}
\end{align}

Lisäksi kaikki ratkaisut x ovat kongruentteja modulo N, missä N = n1n2nk.


Näin ollen x \equiv y \pmod{n_i}, kaikille 1\leq i \leq k, jos ja vain jos x \equiv y \pmod{N}.


Joissain tapauksissa kongruenssiyhtälöryhmät voidaan ratkaista vaikka ni:t eivät olisi pareittain keskenään jaottomia. Ratkaisu x on olemassa jos ja vain jos:

a_i \equiv a_j \pmod{{pyj}(n_i,n_j)} \qquad \mbox{kaikilla }i\mbox{ ja }j . \,\!

Kaikki ratkaisut x ovat siten kongruentteja modulo pienin yhteinen jaettava (pyj) ni.


Teoreema voidaan esittää myös modernimmassa algebrallisessa muodossa seuraavasti:

Kokonaislukujen modulo n rengas \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ,jossa n voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona seuraavasti n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}.

Kun p_i:t ovat eri alkulukuja, niin rengas \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} on luonnollisesti isomorfinen tulorenkaan \mathbb{Z}/p_1^{r_1}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p_2^{r_2}\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_k^{r_k}\mathbb{Z} kanssa.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä esitettävä todistus on muotoiltu Kenneth H. Rosen kirjan Elementary Number Theory and Its Applications (1993) perusteella.

Jaetaan todistus kahteen osaan. Konstruoidaan ensin ratkaisu ja todistetaan sitten ratkaisun yksikäsitteisyys.

Konstruoidaan ensin ratkaisu:

Merkitään N_{k}=N/n_{k}=n_{1}n_{2}...n_{k-1}n_{k+1}...n_{r}. Koska luvut  n_{1}, n_{2},...,n_{r} ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin syt(N_{k},n_{k})=1. Näin ollen luvulla N_{k} on käänteisluku modulo n_{k}. Merkitään tätä käänteislukua symbolilla b_{k}, jolloin N_{k}b_{k}\equiv 1\pmod{n_{k}}.

Nyt voimme muodostaa summan

 x=a_{1}N_{1}b_{1}+a_{2}N_{2}b_{2}+...+a_{r}N_{r}b_{r}.

Osoitetaan nyt, että kokonaisluku  x on kongruenssiryhmän ratkaisu. Tehdään tämä osoittamalla, että  x\equiv a_{k}\pmod{n_{k}} kaikilla k=1,2,...,r. Koska n_{j}\mid N_{k}, kun j\neq k, niin N_{j}\equiv 0\pmod{n_{k}}, kun j\neq k. Näin ollen, x\equiv a_{k}N_{k}b_{k}\equiv a_{k}\pmod{n_{k}} , koska N_{k}b_{k}\equiv 1\pmod{n_{k}}, niin  x\equiv a_{k}\pmod{n_{k}} . Siis x on kongruenssiryhmän ratkaisu.

Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo N. Olkoot x_{0} ja x_{1} kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua k=1,2,...,r kohti on  x_{0}\equiv x_{1}\equiv a_{k}\pmod{n_{k}} , joten jokaista lukua k=1,2,...,r kohti n_{k}\mid (x_{0}-x_{1}). Näin ollen N \mid(x_{0}-x_{1}) eli  x_{0}\equiv x_{1}\pmod{N}.

Ratkaisukaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun n_i:t ovat pareittain suhteellisia alkulukuja voidaan kongruenssiyhtälöryhmä ratkaista seuraavan kaavan avulla:

x=a_1b_1\frac{N}{n_1}+\ldots+a_kb_k\frac{N}{n_k} \pmod{N},

missä kertoimet b_i saadaan ratkaistua yhtälöstä

b_i\frac{N}{n_i}\equiv 1 \pmod{n_i}.

Laskuesimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkuperäinen Sun Tsun ongelma kuuluu seuraavasti. Kuinka monta sotilasta on Han Xingin armeijassa? Jos sotilaat marssivat kolmen riveissä, kaksi sotilasta jää yli. Jos he marssivat viiden riveissä, kolme jää yli, ja jos he marssivat seitsemän riveissä, kaksi jää yli?

Ongelma voidaan ilmaista kongruenssiyhtälöryhmänä:

\begin{align}
 x &\equiv 2 \pmod{3} \\
 x &\equiv 3 \pmod{5} \\
 x &\equiv 2 \pmod{7}
\end{align}

Luvut 3, 5 ja 7 ovat pareittain jaottomia keskenään, joten voimme soveltaa kiinalaista jäännöslausetta. Nyt N=3\cdot 5 \cdot 7=105. Ratkaistaan ensin kertoimet b_i:

b_1\frac{105}{3}\equiv 1 \pmod{3}\qquad b_2\frac{105}{5}\equiv 1 \pmod{5} \qquad b_3\frac{105}{7}\equiv 1 \pmod{7}

Kokeilemalla ratkeaa b_1=2, b_2=1, b_3=1. Sotilaiden määräksi saadaan:

x=2\cdot 2\frac{105}{3}+3\cdot 1\frac{105}{5}+2\cdot 1\frac{105}{7}=233 \pmod{105}.

Sotilaiden määrä voi siis olla 23, 128, 233, 338, ...

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]