Gamma-matriisit

Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ⁰, γ¹, γ², γ³}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.

Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.

Eräs tapa esittää neljä kontravarianttia gamma-matriisia on

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Matemaattinen rakenne

Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio

$\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I$

missä $\eta^{\mu \nu} \,$ on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja $\ I \,$ on yksikkömatriisi.

Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.

Kovariantit gamma-matriisit määritellään

$\displaystyle \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{\gamma^0, -\gamma^1, -\gamma^2, -\gamma^3 \right\}$,

jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.