Eisensteinin kokonaisluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiohilan.

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

z = a + b\omega \,\!

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

\omega^2 + \omega + 1 = 0. \,\!

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2,  \,\!

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω2}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.