Additiivinen merkintä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Additiivinen merkintä tarkoittaa sellaisia luvun esitystapoja, joissa luvun arvo ilmaistaan ryhmällä merkkejä, joiden arvot lasketaan yhteen. Vain osa luvuista ilmaistaan lukumerkillä ja muut luvut muodostetaan näiden summan avulla. Nykyään käytetään additiivisia merkintöjä harvoin ja niillä onkin lähinnä historiallista merkitystä. Näiden tilalle on tullut intialaisarabialaiset numerot, paikkamerkintä ja desimaalijärjestelmä.

Muinaisilla kansoilla on ollut runsaasti lukujen merkintätapoja, joiden perusidea on ollut additiivinen, mutta jossa on sovellettu muitakin merkitsemisperiaatteita. Esimerkiksi kiinalaisilla oli additiivisen numeromerkintä, jota laajennettiin moninkertaistavilla luvuilla. Babylonialaisilla oli käytössään additiivisesti merkityillä pienillä luvuilla laajennettu paikkamerkintä. [1]

Idea on varsin yksinkertainen. Vanha tukkimiehen kirjanpito on selvä esimerkki, jossa ykköstä sisältävää lukujärjestelmää sovelletaan additiivisesti. Kun kirjoitetaan luku viisi, merkitään vain 5 kappaletta ykkösiä eli /////. Jos lukumerkistöön kuuluu vaikka luvut / eli yksi ja X eli kolme, tulkitaan //XXX luvuksi 1 + 1 + 3 + 3 + 3 eli luvuksi yksitoista. Lukua esittävät merkit muutetaan luvuiksi, joiden summa on merkitty luku.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Varhaiset egyptiläinen lukumerkintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Hieroglyfit#Lukusanat

Egyptiläisissä hieroglyfeissä, joita hakattiin kiveen jo 3200 eaa. [2], oli heti käytössä additiivinen desimaalijärjestelmä. Eri lukumerkit, jotka saatiin moninkertaistavalla tavalla luvun 10 potsensseina, aseteltiin vallitsevan kirjoitustavan mukaisesti ryhmäksi. Seuraavia merkkejä käytettiin luvuissa.

Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
1 10 100 1 000 10 000 100 000 miljoona

Esimerkiksi luku 2324 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 kirjoitettaisiin hieroglyfeillä muodossa [3]

M12 M12 V1 V1 V1 V20 V20 Z1 Z1 Z1 Z1

Egyptissä käytettiin myöhemmin hieroglyfien kanssa kahta rinnakkaista hieraattista- ja demoottista merkistöä. Myös näissä oli käytössä additiivinen desimaalijärjestelmä. [3]

Nuolenpääkirjoitus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Babylonialaiset numerot
Luvut 1 - 59 nuolenpääkirjoituksen additiivisilla merkinnöillä

Babylonialaiset omaksuivat nuolenpääkirjoituksen ja sen numerojärjestelmän sumerilaisilta noin 2200 eaa. [2]. Nuolenpääkirjoituksessa, jossa merkit tehtiin ruo'on kärjellä tuoreeseen saveen, esiintyi lukuja merkitseviä merkintöjä. Ne muodostettiin käyttäen vain kahta merkkiä: pieni- ja iso kiilamerkki. Pieni kiila (luku yksi) painettiin kosteaan saveen pystyasentoon ja isokiila (kymmenen) poikittain. Luvut 1 - 9 merkittiin pienillä kiiloilla kolmen kiilan riveinä. Luku yhdeksän oli siten kolme kolmen kiilan riviä. Luku 13 merkittiin 10 + 1 + 1 + 1 eli ensin yksi isokiila ja sen perään kolme pientä kiilaa yhteen riviin. Luku 35 = 10 + 10 + 10 + 1 (x 3) + 1 (x 2) eli kolme isokiilaa riviin ja näiden jälkeen viisi pientä kiilaa kolmen ja kahden kiilan päällekkäisissä riveissä. [4]

Vaikka babylonialaisilla oli additiivinen merkintä, jatkettiin lukujen muodostamista nyt paikkamerkinnällä. Luku 125 = 120 + 5 merkittiin kahdella pienellä kiilalla ja niiden jälkeen 5 pikkukiilalla. Ensimmäiset kaksi kiilaa tarkoittiviat 60:ien lukumäärää eli 2 x 60 = 120 ja seuraavat 5 kiilaa 5 x 1. Suuret luvut esitettiin seksagesimaalisella paikkamerkinnällä, jossa numeromerkit muodostettiin additiivisesti. [4][5]

Roomalaiset numerot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Roomalaiset numerot

Roomalaisissa numeroissa luvut muodostetaan lukujen I (yksi), V (viisi), X (kymmenen), L (viisikymmentä), C (sata), D (viisi sataa) ja M (tuhat) avulla. Luvut 1 - 4 merkittiin aluksi I, II (eli I + I = 2), III ja IIII, mutta keskiajalla luku neljä merkittiin myös vähennyslaskuna IV (yksi pois viidestä). Luvut 6 - 9 merkittiin VI, VII, VIII ja VIIII, mutta yleisiä olivat keskiajalla myös IX (yhdeksän) ja IIX (kahdeksan). Suuremmat luvut aloitettiin kirjoittamaan isoista merkeistä. Esimerkiksi MDCI tarkoitti 1000 + 500 + 100 + 1 = 1601 ja MMCCIX tarkoitti 1000 + 1000 + 100 + 100 + 10 - 1 = 2209. [6][7]

Roomalainen merkitsemistapa oli helppo oppia, mutta vaati hieman päässälaskutaitoa edes luvun suuruuden hahmottamiseksi. Yhteen ja vähennyslaskut olivat tällä merkinnällä vaikeahkoja suorittaa, mutta kertominen ja jakaminen onnistui vasta laskupöydän tai sormien avulla. [6][7]

Kiinalaiset sauvanumerot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kiinassa on ollut käytössä useita lukujen merkitsemistapoja. Matematiikan pitkästä perinteestä johtuen ja kulttuurivaihdosta intialaisten kanssa näistä kehitettiin kehittynyt paikkajärjestelmään perustuvia desimaalijärjestelmiä. [8] Sauvanumerot ovat laajalle levinnyt ja kansalaisten vieläkin käyttämä merkitsemistapa, jota käytettiin jo vanhimmassa kirjallisessa lähteessä 250 eaa. [2].

Sen juuret ovat additiivisessa merkintätavassa, jossa lukua yksi merkitsevää merkkiä "sauva" toistetaan tarvittava määrä. Kun lukua viisi kuvataan viidellä sauvalla, jatketaan lukujen 6 - 9 osalta "poikittaisella sauvalla", joka myös tarkoittaa viittä. Luvussa 6 tämän alle vedetään vielä yksi sauva, jolla ilmaistaan 6 = 5 + 1. [9]

Sauvamerkinnän positiivisten lukujen eräs perinteinen merkintätapa [9]
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pystyviivoin Counting rod 0.png Counting rod v1.png Counting rod v2.png Counting rod v3.png Counting rod v4.png Counting rod v5.png Counting rod v6.png Counting rod v7.png Counting rod v8.png Counting rod v9.png
Vaakaviivoin Counting rod 0.png Counting rod h1.png Counting rod h2.png Counting rod h3.png Counting rod h4.png Counting rod h5.png Counting rod h6.png Counting rod h7 num.png Counting rod h8 num.png Counting rod h9 num.png

Merkinnässä on ilmeisesti jäänne viisikantaisesta lukujärjestelmästä, jossa vaakapalkit tarkoittivat viiden lukumääriä. Sauvamerkintää on myöhemmin kehitetty paikkamerkinnäksi siten, että sauvamerkeistä tuli numeraaleja 1 - 9, joilla muodostettiin suurempia lukuja. Paikkamerkinnässä ykköset, sadat, kymmenet tuhannet, merkittiin pystyviivoilla, vastaavasti kymmenet, tuhannet, sadat tuhannet, ja niin edelleen, merkittiin vaakaviivoilla. [10]

Mayaintiaanien lukumerkintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Mayojen numerot
Luettelo Mayaintiaanien luvuista 1 - 19 sekä esimerkit luvuista 5 ja 11 pystyasentoon kirjoitettuna.

Espanjalaiset valloittajat tuhosivat järjestelmällisesti intiaanien kirjoittamia dokumentteja. Ainoastaan muutama kopio heidän kirjoituksistaan on säilynyt ja lisäksi kaikki kiveen hakatut tekstit. Mayojen teksteissä ja kalenterimerkinnöistä on löydetty melko kattava esitys heidän lukujen käytöstä. Heidän lukumerkintänsä perustui additiivisuuteen, missä luku yksi merkittiin pisteellä ja luku viisi merkittiin viivalla. [11]

Merkinnöissä on ilmeisesti jäänteitä vanhasta viisilukujärjestelmästä lukuun 20 saakka, jonka jälkeen merkinnät noudattavat paikkamerkintää. Paikkamerkinnässä vuorottelivat 20- ja 18-järjestelmä eri paikoissa. [11]

Muita additiivisia lukumerkintöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkujaan matemaatikon ja historioitsijan Geneviève Guitelin laatima ja J. D. Barrowin päivittämässä luokittelussa mainittu additiivisiksi muutama muukin lukumerkintä. Atsteekit käyttivät 20-kantaista lukujärjestelmää, joka oli additiivinen. Kreikkalaiset käyttivät attikalaista lukumerkintää, joka roomalaisten numeroiden tavoin perustui lukuihin 1, 5, 10, 50, 100, 500,... Myöhemmin he siirtyivät intialaisten vaikutuksesta toiseen additiiviseen merkintään, jossa luvuille 1 - 9 annettiin aakkosten ensimmäiset kirjaimet, luvuille 10, 20, ..., 90 aakkosten seuraavat kirjaimet ja sadoille vastaavasti loput kirjaimista. Luku merkittiin näitä lukuja hyväksi käyttäen ja alle tuhat olevia lukuja voitiin esittää kolmella merkillä. Hebrealainen merkintä ja arabialainen Abjad-merkintä matkivat tätä järjestelmää, joskin niissä käytettiin omia aakkosia. [12]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  • Barrow John D.: Lukujen taivas. Suom. Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
  • Pulkkinen, Jarmo: Sudenluusta supertietokoneeseen. Helsinki: Art House Oy, 2004. ISBN 951-884-388-0.
  1. Barrow John D.: Lukujen taivas (taulukko 2.25), s. 135
  2. a b c Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II (Juuret), ss. 23 - 36, 51 - 56, 78 - 81, 99 - 101, 283 - 284, 305 - 309
  3. a b Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II (Hieroglyfit), ss. 34 - 37
  4. a b Barrow John D.: Lukujen taivas (nuolenpääkirjoitus), ss. 85 - 86, 99 - 100, 125 - 128
  5. Pulkkinen, Jarmo: Sudenluusta supertietokoneeseen (babylonialaiset), ss. 25 - 27
  6. a b Barrow John D.: Lukujen taivas (roomalaiset, keskiaika ja laskulauta), ss. 122, 136 - 137
  7. a b Pulkkinen, Jarmo: Sudenluusta supertietokoneeseen (roomalaiset), ss. 35 - 36
  8. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II (Kiina ja Intia), ss. 238 - 322
  9. a b Barrow John D.: Lukujen taivas (kiinalaiset luvut), ss. 130 - 131
  10. Barrow John D.: Lukujen taivas (5-10-järjestelmä), ss. 93 - 98
  11. a b Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II (Mayat), ss. 307 - 309
  12. Barrow John D.: Lukujen taivas (taulukko 2.26), s. 138