Von Mangoldtin funktio

Von Mangoldtin funktio, merkitään Λ(n), on eräs analyyttisen lukuteorian keskeisimpiä aritmeettisia funktioita. Se saa nollasta poikkeavia arvoja ainoastaan alkulukujen potenssien kohdalla, jolloin se ilmaisee potenssin kantaluvun.

Määritelmä

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{jos }}n=p^{k}{\text{ jollekin alkuluvulle }}p{\text{ ja kokonaisluvulle }}k\geq 1\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}$

Ominaisuudet

Von Mangoldtin funktion arvojen summa yli luonnollisen kokonaisluvun $n$ tekijöiden ylitse on itse asiassa $\log n$:

$\sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n$

Käyttämällä kaavaan Möbiuksen inversiota saadaan

$\Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log({\frac {n}{d}})=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)$.

Funktio esiintyy myös Riemannin zeeta-funktion derivaatassa. Logaritminen derivointi antaa

${d \over ds}\log \zeta (s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$

eli puolittain integroimalla saadaan

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}}$.