Riemannin zeeta-funktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin zeeta-funktio on määritelty kompleksiluvuille , joiden reaaliosa , summaksi

.

Alueessa tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä . Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

Integraaleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos pätevät kaavat

ja

Jos on

.

Integraali zeetafunktion derivaatalle on

joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.

Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

missä ψ0 on digammafunktio.

Sarjoja Eulerin vakiolle:

Sarja Catalanin vakiolle:


Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]