Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta. [1]
Riemannin zeeta-funktio
on määritelty kompleksiluvuille
, joiden reaaliosa
, summaksi
.
Alueessa
tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä
. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.
Jos
pätevät kaavat

ja

Jos
on
.
Integraali zeetafunktion derivaatalle on

joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.

missä ψ0 on digammafunktio.










Sarjoja Eulerin vakiolle:





Sarja Catalanin vakiolle:

![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88eec406cb0d9554da544b9614fe5581fb6c0786)

![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e6bbc24b257d55d40c9355ca7a84304071001c)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f2fb2ee7e0568c9a2b8badbb0932865d12809d)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5d3c969127771d6343b29fda8c68e1ef01fefa)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f083804addcac40e42af2534b693d62a606210d)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e48542bc883438b81ad6d57f5ba7c62ec35d8b)
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 341–342. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0