Hermiittinen matriisi

Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka onitsensä konjugaattinen transpoosi, eli alkio rivillä i ja sarakkeella j on sama kuin alkio rivillä j ja sarakkeella i:

$a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$

Voidaan myös merkitä:

$A=A^{*}\quad$

Esimerkiksi

${\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$

on hermiittinen matriisi.

Selvästi hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain jos se on symmetrinen matriisi, eli se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on erikoistapaus hermiittisestä matriisista.

Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, kuten spektrilauseesta nähdään. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaariseksi matriisiksi ja syntyneen matriisin alkiot ovat reaalilukuja. Siten hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia ja edelleen eri ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. On mahdollistä löytää Cⁿ:n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan ominaisvektoreista

Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien A ja B tulo on hermiittinen vain josmatriisit kommutoivat, eli AB = BA.

Hermiittiset n×n matriisit muodostavan reaalilukujen suhteen vektoriavaruuden, mutta ei kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavariiden dimensio on n². (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.)

Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi positiivisesti semidefiniitti.