Ortogonaalinen matriisi

Ortogonaalinen matriisi on matriisi jonka transpoosi on sen käänteismatriisi eli

$Q^{T}Q=QQ^{T}=I\,$.

Tässä esiintyvä I on yksikkömatriisi. Erityisen kiinnostavia ovat erikoiset ortogonaalimatriisit (engl. special orthogonal matrices), joiden determinantille on lisäksi voimassa

$\det(Q)=+1\,$.

Ortogonaalimatriiseja esiintyy monissa sovelluksissa. Esimerkiksi kierrot ja peilaukset ovat ortogonaalimatriisien kuvaamia. Ortogonaalisia metriiseja käytetään myös esimerkiksi muiden matriisien esittämisessä QR-hajotelman avulla.

Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (3×3-)matriisit muodostavat ryhmän, josta käytetään merkintää O(3) ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän SO(3). Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. fysiikassa.

Esimerkkejä

Esimerkkejä ortogonaalisista matriiseista:

• Yksikkömatriisi:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

• Peilaus xy-tason suhteen:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}$

• Eräs rotaation ja peilauksen yhdistelmä:

${\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}$