Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
JmT (keskustelu | muokkaukset) p typoja |
JmT (keskustelu | muokkaukset) p yhteen tagiin puuttuva / |
||
Rivi 2: | Rivi 2: | ||
==Motivaatio== |
==Motivaatio== |
||
Annetulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i<sub>'', on karakteristinen polynomi muotoa |
Annetulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i</sub>'', on karakteristinen polynomi muotoa |
||
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math> |
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math> |
Versio 15. kesäkuuta 2007 kello 02.53
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällään useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Motivaatio
Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, on karakteristinen polynomi muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että
- ,
tai
- ,
missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin
juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan
- ,
missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.