Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
päivitys |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|neliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]]. |
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|neliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]].<ref name=m1/> |
||
==Lähtökohta== |
==Lähtökohta== |
||
Rivi 53: | Rivi 53: | ||
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
||
Tämä on <math>A</math>:n karakteristinen polynomi, missä <math>t</math> on matriisin [[ominaisarvo]]. |
Tämä on <math>A</math>:n karakteristinen polynomi, missä <math>t</math> on matriisin [[ominaisarvo]]. |
||
== Lähteet == |
|||
{{Viitteet|viitteet= |
|||
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste=ISBN 951-31-0471-0}}</ref> |
|||
}} |
|||
== Kirjallisuutta == |
== Kirjallisuutta == |
Versio 4. heinäkuuta 2019 kello 23.10
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.[1]
Lähtökohta
Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.
Päädiagonaalimatriisi
Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleinen tapaus
Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että
- ,
eli
- ,
missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
ratkaisuina.
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan
- ,
missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.
Lähteet
- ↑ Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Kirjallisuutta
- Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).