Ero sivun ”Neliöksi täydentäminen” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [katsottu versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Neliöksi täydentäminen''' on [[algebra]]llinen menetelmä [[toisen asteen yhtälö]]n ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös [[integraalilaskenta|integraaleja laskettaessa]]. |
[[Kuva:Completing the square.gif|thumb|400px|Neliöksi täydentäminen esitettynä neliölauseke tulkittuna pinta-alaksi.]]'''Neliöksi täydentäminen''' on [[algebra]]llinen menetelmä [[toisen asteen yhtälö]]n ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös [[integraalilaskenta|integraaleja laskettaessa]]. |
||
Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) <math>ax^2 + bx + c</math> muotoon (2) <math>(a'x + b')^2 + c'</math>. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat. |
Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) <math>ax^2 + bx + c</math> muotoon (2) <math>(a'x + b')^2 + c'</math>. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat. |
Versio 7. helmikuuta 2016 kello 00.55
Neliöksi täydentäminen on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.
Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) muotoon (2) . Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.
Neliöksi täydennyksessä otetaan ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö, ja lisätään ja vähennetään se. Tälle toimenpiteelle on voimassa ehto, että toisen asteen termin kerroin on 1.
Esimerkki 1
Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:
- .
Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.
Välivaiheittain:
(1) Otetaan termin :n kerroin yhteiseksi tekijäksi ja toteutetaan ehto, että toisen asteen termin kerroin on yksi.
(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli :n, puolikkaan neliö ja lisätään ja vähennetään se.
(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin
Nyt yhtälö ratkeaa helposti
- .
Siis x on joko 0 tai -1.
Esimerkki 2
Toisen asteen polynomifunktion neliöksi täydentäminen tehdään yleisesti seuraavasti:
Menetelmästä on se etu, että funktion käännepiste voidaan määrittää turvautumatta derivointiin. Käännepiste saadaan yhtälöstä . Funktion arvo tässä pisteessä on siten .
Funktion neliöksi täydentäminen tarkoittaa myös koordinaatiston origon. Jos funktio on täydennetyssä muodossaan
- ,
sille saadaan myös seuraava muoto
Merkitään
Tällöin alkuperäinen funktio saadaan muotoon
- ,
ja alkuperäinen origo on pisteessä
- , joilloin siis
Esimerkki 3
Tehtävä: kirjoita hyperbelin yhtälö perusmuotoon: ,
(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot yhtälön oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.
(2) Ryhmitellään lausekkeet sellaisiksi, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1. Otetaan x-termien yhteinen kerroin 9 ja y-termien kerroin -1 ulkopuolelle.
(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.
(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:
- - 36 + 1
(5) Jolloin jää: