Ero sivun ”Ortogonaalinen matriisi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p r2.6.4) (Botti muokkasi: ar:مصفوفة متعامدة |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Ortogonaalinen matriisi''' on matriisi jonka [[transpoosi]] on sen käänteismatriisi eli |
'''Ortogonaalinen matriisi''' on reaalikertoiminen matriisi jonka [[transpoosi]] on sen käänteismatriisi eli |
||
:<math>Q^T Q = Q Q^T = I\,</math>. |
:<math>Q^T Q = Q Q^T = I\,</math>. |
||
Rivi 11: | Rivi 11: | ||
Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (''3×3''-)matriisit muodostavat [[ryhmä (algebra)|ryhmän]], josta käytetään merkintää ''[[O(3)]]'' ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän ''[[SO(3)]]''. Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. [[fysiikka|fysiikassa]]. |
Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (''3×3''-)matriisit muodostavat [[ryhmä (algebra)|ryhmän]], josta käytetään merkintää ''[[O(3)]]'' ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän ''[[SO(3)]]''. Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. [[fysiikka|fysiikassa]]. |
||
Reaalikertoiminen neliömatriisi on ortogonaalinen jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon tavallisen pistetulon suhteen. Sama pätee riveihin. |
|||
Mikäli ortogonaalisen matriisin pystyvektorien pituus eli normi on 1, käytetään siitä nimitystä '''ortonormaali matriisi'''. |
|||
==Esimerkkejä== |
==Esimerkkejä== |
Versio 26. marraskuuta 2012 kello 15.32
Ortogonaalinen matriisi on reaalikertoiminen matriisi jonka transpoosi on sen käänteismatriisi eli
- .
Tässä esiintyvä I on yksikkömatriisi. Erityisen kiinnostavia ovat erikoiset ortogonaalimatriisit (engl. special orthogonal matrices), joiden determinantille on lisäksi voimassa
- .
Ortogonaalimatriiseja esiintyy monissa sovelluksissa. Esimerkiksi kierrot ja peilaukset ovat ortogonaalimatriisien kuvaamia. Ortogonaalisia matriiseja käytetään myös esimerkiksi muiden matriisien esittämisessä QR-hajotelman avulla.
Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (3×3-)matriisit muodostavat ryhmän, josta käytetään merkintää O(3) ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän SO(3). Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. fysiikassa.
Reaalikertoiminen neliömatriisi on ortogonaalinen jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon tavallisen pistetulon suhteen. Sama pätee riveihin.
Esimerkkejä
Esimerkkejä ortogonaalisista matriiseista:
- Yksikkömatriisi:
- Peilaus xy-tason suhteen:
- Eräs rotaation ja peilauksen yhdistelmä: