Ero sivun ”Jälki” versioiden välillä
[katsottu versio] | [arvioimaton versio] |
linkki |
pEi muokkausyhteenvetoa Merkkaukset: Tämä muokkaus on kumottu Visuaalinen muokkaus |
||
Rivi 3: | Rivi 3: | ||
:<math>\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}\, = \sum_{i=1}^na_{ii}</math>, |
:<math>\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}\, = \sum_{i=1}^na_{ii}</math>, |
||
missä a<sub>ii</sub> tarkoittaa ''A'':n alkiota rivillä ''i'' ja sarakkeessa i. <ref name=p1/> Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}</math>. |
missä a<sub>ii</sub> tarkoittaa ''A'':n alkiota rivillä ''i'' ja sarakkeessa i. <ref name=p1/> Jälki on siis kuvaus [https://www.themasjidhub.com/ neliömatriisien] joukosta <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}</math>. |
||
==Ominaisuuksia== |
==Ominaisuuksia== |
Versio 13. helmikuuta 2024 kello 08.56
Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisin A jälki on määritelmän mukaan A:n päälävistäjän alkioiden summa, eli
- ,
missä aii tarkoittaa A:n alkiota rivillä i ja sarakkeessa i. [1] Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta .
Ominaisuuksia
Matriisin jälki on lineaarikuvaus, eli
kaikille neliömatriiseille A ja B, sekä kaikille skalaareille .
Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana transpoosissa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:
- .
Jos A on n×m-matriisi ja B on m×n-matriisi, on
- ,
vaikka matriisitulo ei olekaan kommutatiivinen. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti
- .
Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin ominaisarvojen ja jäljen välillä. Jos ovat matriisin ominaisarvot, niin
- ,
kun A on n×n-matriisi.
Lähteet
- ↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 880 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Kirjallisuutta
- Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.