Syntymäpäiväongelma

Syntymäpäiväongelma tai syntymäpäiväparadoksi on vanha matemaattinen arvoitus. Siitä on useita muunnelmia, mutta keskeinen kysymys kaikissa on seuraava: kuinka monta henkilöä pitää jossakin tilaisuudessa olla koolla, jotta on yli 50 prosentin todennäköisyys siihen, että ainakin kahdella heistä on sama syntymäpäivä? Oletuksena on, että henkilöiden syntymäpäivät ovat satunnaisia tai tarkemmin sanoen satunnaisia otoksia vuoden päivien tasaisesta jakaumasta. Tämä ei kuitenkaan pidä käytännössä paikkaansa.

Pienehkössä ihmisryhmässä saatetaan joskus hämmästyä siitä, että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä, onhan päiviä sentään 365 (pois lukien karkauspäivä). Todellisuudessa se henkilöluku, jonka jälkeen on todennäköisempää että kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä kuin että kaikki ovat syntyneet eri päivinä, on yllättävän pieni.

Todistus

Todennäköisyys sille, että ainakin kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä eri suuruisissa ryhmissä.

On helppo osoittaa, että jo 23 henkilön ryhmässä on todennäköisempää, että ainakin kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä, kuin että kaikki olisivat syntyneet eri päivinä. Nämä ovat toisensa poissulkevat tapahtumat. Lasketaan ensin, kuinka todennäköistä on, että kaikki olisivat syntyneet eri päivinä. Tämä on kysytyn tapahtuman vastatapahtuman todennäköisyys. Kun tiedetään vastatapahtuman todennäköisyys, saadaan kysytty todennäköisyys laskettua komplementtisäännön mukaan vähentämällä saatu todennäköisyys luvusta yksi.

Valitaan ensimmäinen henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa vuoden 365 päivästä (ei rajoittavia ehtoja). Valitaan toinen henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa paitsi sinä päivänä, jona ensimmäinen henkilö on syntynyt, eli jonakin vuoden 364 päivästä. Valitaan kolmas henkilö, joka voi olla syntynyt minä päivänä tahansa, paitsi ensimmäisen tai toisen henkilön syntymäpäivänä, eli jonakin muuna vuoden 363 päivästä. Valitaan samoin neljäs, viides ja niin edelleen aina 23. henkilöön asti. Tuloperiaatteen mukaan päivämäärät voi valita

$365\cdot 364\cdot 363\cdot 362\cdot \ldots \cdot 343$

eri tavalla. Kaikkia mahdollisia tapoja on $365^{23}$ kappaletta. Koska

$1-{\frac {365\cdot 364\cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}}}\approx 0{,}5073>0{,}5$,

on väite todistettu.

Aiheesta muualla

• Birthday Problem MathWorld. Wolfram Research, Inc. (englanniksi)