L’Hôpitalin sääntö

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Guillaume de l’Hôpital, jonka mukaan l’Hôpitalin sääntö on nimetty.
Johann Bernoulli, jonka uskotaan kehittäneen l’Hôpitalin säännön.

L’Hôpitalin sääntö (joskus muodossa l’Hospitalin) on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon Guillaume de l’Hôpitalin mukaan nimetty matemaattinen menetelmä, jossa epämääräistä muotoa olevia raja-arvoja laskettaessa käytetään apuna derivaattaa. L’Hôpital julkaisi säännön vuonna 1696 kirjassaan Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes. L’Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l’Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli[1]. L’Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l’Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään. Ylioppilastutkintolautakunta ei lähtökohtaisesti salli menetelmän käyttöä suomalaisessa ylioppilaskokeessa, jollei sitä ole koesuorituksessa perustellen johdettu.[2]

Olkoot funktiot ja derivoituvia (ja täten myös jatkuvia) välillä , missä on avoin väli, joka sisältää pisteen , mikäli ei ole eikä . Siis voi olla tässä muotoa tai (epäoleelliset raja-arvot), jossa ja tarkoittavat funktion toispuoleisia raja-arvoja pisteessä . Oletetaan lisäksi, että

tai
ja
on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja
kaikille .

Nyt l’Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvo kohdassa on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta

Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin joka sovelluskerralla uudelleen. Sääntö muun muassa helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja.

l’Hôpitalin säännön todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan l’Hôpitalin sääntö differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.

  • Tapaus 1: Oletetaan, että piste on äärellinen.

Määritellään , jolloin funktiot ja ovat jatkuvia pisteessä . Valitaan nyt piste niin läheltä pistettä , että funktiot ja toteuttavat differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä (tai , jos ).

Nyt saadaan

missä (tai , jos ). Lisäksi jossain pisteen ympäristössä (). Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan

kun on tarpeeksi pieni. Kun nyt , niin myös , joten väite seuraa yllä olevasta yhtälöstä. Sama on voimassa myös toispuoleisten raja-arvojen tapauksessa.

  • Tapaus 2: Oletetaan, että .

Merkitään , jolloin todistus menee vastaavasti kuin tapauksessa 1. Tällöin


Esimerkkejä l’Hôpitalin säännön käytöstä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käytetään merkintää == osoittamaan l’Hôpitalin säännön soveltamista esimerkeissä.

  • Varsin klassinen esimerkki lauseen käytöstä on funktioiden ja osamäärän raja-arvo:
Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältää kehäpäätelmän. Tätä tulosta käytetään sinifunktion derivoimissäännön johdossa, joten l’Hôpitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.
  • Esimerkki tilanteesta, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa . L’Hôpitalin säännön soveltaminen ensimmäisen kerran antaa yhä epämääräistä muotoa olevan raja-arvon. Tämä saadaan kuitenkin lasketuksi soveltamalla sääntöä yhteensä kolme kertaa:
  • Esimerkki säännön käytöstä tilanteessa, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa :

Ongelmatapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ennen l’Hôpitalin säännön käyttämistä on tärkeää tarkistaa, että osamäärä on varmasti epämääräistä muotoa. Tämä unohtuu helposti, jos l’Hôpitalin sääntöä käytetään raja-arvoa laskettaessa useita kertoja peräkkäin. Lasketaan raja-arvo
Tämä on väärin, sillä ei ole epämääräistä muotoa, joten siihen ei voi soveltaa l’Hôpitalin sääntöä.
Oikea tapa:
  • Joskus l’Hôpitalin säännön käyttäminen johtaa takaisin alkuperäiseen muotoon:
Tämän tilanteen voi välttää sijoittamalla , missä , kun . Nyt raja-arvon laskeminen on helppoa:
  • Toinen esimerkki tapauksesta, jossa l’Hôpitalin säännön käyttäminen ei johda mihinkään:
Parempi tapa on sieventää lauseketta. Nyt ei tarvitse käyttää l’Hôpitalin sääntöä ja saadaan helposti:


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 592–594. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
  2. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi peda.net.