Kosinilause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kosinilauseessa on kolmion kulma, ja ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun on suorakulma.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

Tästä saadaan

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista :

Kulman kosini on kuvion mukaan

Yhtälö saadaan muotoon .

Todistus sujuu samoin, jos kulma on tylppä.

Kosinilause ja vektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]