Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee
![{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a5f7a0fc86714ac127a5fcb7e62f1fba35ec38)
missä:
on suljettu polku, jota pitkin integroidaan
Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. [1] Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.
Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa
jollekin skalaarikentälle
. Mikäli F(x) on voimakenttä, on
potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun
läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että
voidaan parametrisoida
parametrille
. Täten
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.
- Yleisesti jos
, silloin
.
- Vastaavasti jos
, silloin
jollekin
. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin
.
Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle
, täten jos F on eksakti, eli
, voidaan kirjoittaa
. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos
on eksakti.
Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee
. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan
(kts. yllä):
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial \phi }{\partial x}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6bbc4caaec1680fc9271cd2c2f1b4dfafc9247)
koska
ja
.
Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska
, on
minkä tahansa polun
ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti
. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska
.)