Kannanvaihto

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

Kannanvaihtomatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Kannanvaihtomatriisin määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ja vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille pätee =M(T←S), missä on vektorin koordinaattivektorin kannan T suhteen ja vektorin koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa , ja . Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)=.

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ja vektoriavaruuden R2 kantoja, joille , , ja . Olkoon lisäksi . Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi redusoituun porrasmuotoon . Tällöin M(T←S)=. Vektorin koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla . Lasketaan vektorin koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

=M(T←S)==.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
  • David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.