Idempotentti matriisi

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

  • on idempotentti
  • :n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin :n aste.

Tässä merkintä tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta, on A:n ydin ja on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos on jokin :n vektori

,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa :n suoran -tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.

Ortogonaalisesti idempotentit matriisit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja , että kaikille joukon jäsenille pätee

aina kun . Jos lisäksi

,

missä on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:

  • on ortogonaaliseti idempotentti.
  • Summa on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla .
  • Jos niin myös on ortogonaalisesti idempotentti.
  • Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko , missä kukin on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.

Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]