Hohmannin siirtorata

Ratamekaniikassa Hohmannin siirtorata määrittää sen lisänopeuden ja vastaavan ajoaineen määrän, joka tarvitaan planeetalta toiselle matkaamiseen. Teorian kehitti saksalainen Walter Hohmann vuoteen 1916 mennessä.

Hohmann-ratoja on käytetty eniten satelliittien siirtoon Maata kiertävältä matalalta radalta (LEO) geosynkrooniselle kiertoradalle (GEO). Rata määrittää myös siirtoon kuluvan ajan. LEO-radalta GEO-radalle kuluu viisi tuntia, LEO-radalta Kuuhun viisi päivää. Kaukaisille planeetoille ei yleensä voida lentää Hohmannin ratoja pitkin vaikka ne olisivat nopeimpia. Tällöin yleensä lennetään eri planeettojen ohi ottaen niiden vetovoimasta lisänopeutta luotaimelle Painovoimalinko periaatteella. Tällä säästetään merkittävä määrä ajoainetta ja tehdään luotaimen laukaisu Maasta avaruuteen mahdolliseksi.

Hohmannin siirtorata on puolikas ellipsistä, joka koskettaa rataa, jolta lähdetään ja rataa, jolle halutaan päästä. Radan muuttaminen vaatii kaksi luotaimen rakettimoottorin polttoa, joilla lisätään tai vähennetään ratanopeutta.

Oletuksena on impulssimainen ratanopeuden lisääminen. Todellisuudessa rakettimoottorin poltot kestävät kymmeniä sekunteja, mutta oletus toteutuu suhteellisen tarkkaan.

Matematiikkaa

Luotaimen nopeus ympyräradalla on

$v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$$v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$

jossa:

• $v\,\!$$v\,\!$ luotaimen nopeus
• $\mu =GM\,\!$$\mu =GM\,\!$ keskuskappaleen gravitaatiovakio
• $r\,\!$$r\,\!$ luotaimen etäisyys massakeskiöstä
• $a\,\!$$a\,\!$ radan puoliakselin pituus

Hohmannin siirron vaatima lisänopeus, deltaV, on

$\Delta v_{P}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right)$$\Delta v_{P}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right)$, nopeuslisä periapsiksessa (2)

$\Delta v_{A}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\,\!\right)$$\Delta v_{A}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\,\!\right)$, nopeuslisä apoapsiksessa (3).

jossa:

• $r_{1}\,\!$$r_{1}\,\!$ matalamman radan säde,
• $r_{2}\,\!$$r_{2}\,\!$ ylemmän radan säde.

Siirto korkeammalta radalta matalammalle kestää Keplerin lakien mukaan

$t_{H}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{H}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}$$t_{H}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{H}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}$

jossa:

• $a_{H}\,\!$$a_{H}\,\!$ Siirtoradan puoliakselin pituus.

Aiheesta muualla

• Lisänopeus, Caltechin sivu
• Ratamekaniikka, Mr. Braeunig