Eulerin karakteristika

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta.

Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.

Monitahokas[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eulerin karakteristika määritellään monitahokkaalle kaavalla

missä V, E ja F ovat kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Karakteristikan merkitys on siinä, että se riippuu vain monitahokkaan topologisista ominaisuuksista. Voidaan osoittaa, että karakteristika riippuu vain monitahokkaan muodostaman pinnan genuksesta ja suunnistuksesta. Merkitään genusta kirjaimella g (g on aina positiivinen kokonaisluku tai nolla). Jos pinta on suunistettu, niin

Jos monitahokas on homeomorfinen pallon kanssa, niin g=0, joten tällöin

Erityisesti jos monitahokas on konveksi, niin g=0. Tämä tulos tunnetaan Eulerin monitahokaslauseena.

Esimerkkejä konvekseista monitahokkaista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konveksin monitahokkaan Eulerin karakteristika on siis 2. Tätä voidaan käyttää sen osoittamiseen, että on olemassa vain viisi säännöllistä monitahokasta:

Nimi Kuva V (kärjet) E (särmät) F (tahkot) Eulerin karakteristika: VE + F
Tetraedri Tetrahedron.svg 4 6 4 2
Heksaedri eli kuutio Hexahedron.svg 8 12 6 2
Oktaedri Octahedron.svg 6 12 8 2
Dodekaedri Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Ikosaedri Icosahedron.svg 12 30 20 2