Eksponentiaalinen hajoaminen
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen hetkellinen arvo N pienenee kullakin ajanhetkellä t nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa λ kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:
Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radioaktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.
Differentiaaliyhtälön ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon
ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N0 eli N:n arvo hetkellä t=0 ja Nt eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t.
josta saadaan lopulta ratkaistua Nt:
Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.
Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Puoliintumisaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla , eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi
Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla hajoamislain integraalimuotoon):
Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa () suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua () neljäsosaan jne.
Keskimääräinen elinaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika . Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:
Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N0 ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.
Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.
Useita rinnakkaisia hajoamisia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:
Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla . Tällöin
Nyt saadaan yhtälö
- , josta ratkaisemalla saadaan
Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa
Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.
- Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.
Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- A stochastic simulation of exponential decay
- Tutorial on time constants (Arkistoitu – Internet Archive)