Eksponentiaalinen hajoaminen

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Eksponentiaalinen hajoaminen. Kuvaajasta nähdään, että hajoaminen on sitä nopeampaa, mitä suurempi on hajoamisvakio. Kuvaajaan on piirretty eksponentiaalinen hajoaminen hajoamisvakion arvoilla 25, 5, 1, 1/5, ja 1/25 x:n arvoilla nollasta viiteen.

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen hetkellinen arvo N pienenee kullakin ajanhetkellä t nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa λ kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N0 eli N:n arvo hetkellä t=0 ja Nt eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t.

josta saadaan lopulta ratkaistua Nt:

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Puoliintumisaika ja keskimääräinen elinaika.

Puoliintumisaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla , eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla hajoamislain integraalimuotoon):

Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa () suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua () neljäsosaan jne.

Keskimääräinen elinaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika . Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N0 ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Useita rinnakkaisia hajoamisia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla . Tällöin

Nyt saadaan yhtälö

, josta ratkaisemalla saadaan

Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa


Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.


Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]