Eksponentiaalinen hajoaminen

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eksponentiaalinen hajoaminen. Kuvaajasta nähdään, että hajoaminen on sitä nopeampaa, mitä suurempi on hajoamisvakio. Kuvaajaan on piirretty eksponentiaalinen hajoaminen hajoamisvakion arvoilla 25, 5, 1, 1/5, ja 1/25 x:n arvoilla nollasta viiteen.

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen hetkellinen arvo N pienenee kullakin ajanhetkellä t nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa λ kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N(0) eli N:n arvo hetkellä t=0 ja N(t) eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. Ratkaisuksi saadaan yhtälö

josta saadaan lopulta ratkaistua N(t):

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Puoliintumisaika ja keskimääräinen elinaika.

Puoliintumisaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla N(T)=N(0)/2, eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla hajoamislain integraalimuotoon):

Tästä yhtälöstä nähdään, että yhden puoliintumisajan kuluessa suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä, kahden puoliintumisajan kuluttua neljäsosaan jne.

Keskimääräinen elinaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika . Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:n osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N(0) ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Hajoaminen useamman prosessin kautta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos hajoaminen tapahtuu useamman prosessin kautta (kuten usein esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa), ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla . Tällöin

Nyt saadaan yhtälö

josta ratkaisemalla saadaan

On helppoa nähdä, että tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]