Duaaliavaruus

Matematiikassa jokaisella vektoriavaruudella, V, on vastaava duaaliavaruus, joka sisältää kaikki lineaariset funktionaalit V:llä. Duaaliavaruus on myös vektoriavaruus, ja äärellisdimensioista duaalivektoriavaruutta voidaan käyttää määrittelemään tensoreita. Funktioavaruuksien duaaliavaruuksia voidaan käyttää määrittelemään mittoja, jakaumia ja Hilbertin avaruuksia. Tämän vuoksi duaaliavaruudet ovat tärkeitä työkaluja funktionaalianalyysissä.

Duaaliavaruudet voidaan jakaa kahteen tyyppiin: algebraalisiin duaaliavaruuksiin ja jatkuviin duaaliavaruuksiin. Algebraalinen duaaliavaruus on määritelty kaikille vektoriavaruuksille. Tämän avaruuden aliavaruus on jatkuva duaaliavaruus, joka koostuu topologisen vektoriavaruuden jatkuvista lineaarisista funktionaaleista^selvennä.

Määritelmät

Algebrallinen duaali

Vektoriavaruuden $V$ (algebrallinen) duaaliavaruus on $V^{*}$. Sen alkiot ovat kaikki lineaariset funktionaalit $\Lambda :V\to \mathbb {K}$, missä $\mathbb {K}$ on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus $V$ on määritelty (esim. $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ tai $\mathbb {K} =\mathbb {C}$).

Myös $V^{*}$ on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien $f,g\in V^{*}$ summa $f+g\in V^{*}$ määritellään näin: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ kaikilla $x\in V$.

Topologinen duaali eli jatkuva duaali

Usein duaaliavaruudella tarkoitetaan kuitenkin topologista duaalia eli jatkuvaa duaalia $V'$. Se tarkoittaa niitä algebrallisen duaalin alkioita, jotka ovat jatkuvia. Se on siis jatkuvien lineaaristen funktioiden joukko (vektoriavaruus). Merkintöjä $V'$ ja $V^{*}$ voidaan käyttää kummasta tahansa eri teksteissä.

Topologinen duaali on tietysti määritelty vain silloin, kun $V$ ja $\mathbb {K}$ ovat topologisia avaruuksia, koska muuten jatkuvuutta ei ole määritelty.

Duaalin ja primaalin heikot topologiat

Joskus vektoriavaruudessa käytetään heikkoa topologiaa eli (jommankumman) duaalin indusoimaa topologiaa. Tämä on heikoin topologia, jossa kaikki kyseisen duaalin alkiot ovat jatkuvia. Tällöinkin pitää siis tietää, kummasta duaalista puhutaan.

Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa käytetään heikko-*-topologiaa eli avaruuden $V$ siihen indusoimaa topologiaa.

Ominaisuuksia

Jotkin avaruudesta $\mathbb {R} ^{2}$ tutut ominaisuudet pätevät kaikille vektoriavaruuksille. Esimerkiksi:

Duaalin duaali (eli biduaali) $V^{**}$ on myös vektoriavaruus. Primaalin alkio $v\in V$ on tapana samaistaa biduaalin alkioon $g_{v}:V^{*}\to K$, joka määritellään $g_{v}(f)=f(v)$ kaikilla $f\in V^{*}$. Tämä samaistuskuvaus $G:v\mapsto g_{v}\in V^{**}$ on lineaarinen ja injektiivinen eli (vektori)isomorfismi omalle kuvalleen $G[V]$. Jos V on Hilbertin avaruus (esimerkiksi $\mathbb {R} ^{n}$) ja duaalilla tarkoitetaan jatkuvaa duaalia, se kuva on koko $V^{**}$.

Lineaarikuvaus $L:V\to W$ määrittää toisen lineaarikuvauksen $L^{*}:W^{*}\to V^{*}$ kaavalla $(L^{*}w^{*})v=w^{*}Lv$ jokaiselle duaalin $W^{*}$ alkiolle $w^{*}$. Siis kun $w^{*}\in W^{*}$, selvästikin $L^{*}w^{*}\in V^{*}$. Jos $w^{*}$ ja L ovat jatkuvia, selvästi myös $Lw^{*}:V\to \mathbb {K}$ on jatkuva.