Brahmaguptan kaava

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

[1][2]

Brahmaguptan kaavan todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion pinta-ala + kolmion pinta-ala:

Koska on jännenelikulmio, on Siis joten

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin ja saadaan

Sijoittamalla (koska kulmat ja ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

Koska on

ja lopulta

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

missa on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on , voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]