Heronin kaava
Heronin kaavalla voidaan laskea kolmion pinta-ala, kun tiedetään sen kaikkien sivujen pituudet.
Formaalisti: Olkoon kolmion sivujen pituudet a, b ja c. Tällöin kolmion pinta-ala A saadaan kaavasta
- , jossa on puolet kolmion piiristä.
Heronin kaava saa muodon
kun :n lauseke sijoitetaan yllä olevaan kaavaan.
Kun merkitään ja , saa kaava muodon
Historiaa
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kaava on nimetty ensimmäisellä vuosisadalla eläneen Heron Aleksandrialaisen mukaan. Heronin kaavan todistus esiintyy hänen kirjoittamassaan kirjassa Metrica. On myös uskottu, että jo Arkhimedes tunsi kaavan, mutta on myös mahdollista, että kaava tunnettiin paljon ennen Arkhimedesta.
Heronin kaava korkeusjanojen pituuksien avulla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Heronin kaava voidaan kirjoittaa myös sellaiseen muotoon, jossa pinta-ala lausutaan kolmion sivujen pituuksien sijasta sen korkeusjanojen pituuksien , ja avulla.
Asetetaan , ja .
Tällöin
- , jossa
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html (englanniksi) Kaava ja trigonometrinen todistus.
- http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html (Arkistoitu – Internet Archive) Heronin kaavan geometrinen todistus.
- http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml (englanniksi) Suorakulmaisille kolmioille