Jännenelikulmio

Erilaisia jännenelikulmioita: neliö, suorakulmio, tasakylkinen puolisuunnikas ja yleinen syklinen nelikulmio.

Syklinen nelikulmio eli jännenelikulmio.

Syklisen nelikulmion lävistäjien jakamat samansuuruiset kulmat.

Pisteen potenssi.

Nelikulmio voi olla myös "perhonen".

Jännenelikulmio eli syklinen nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Sanotaan, että syklisen nelikulmion kärjet ovat konsykliset. Kukin nelikulmion sivu on myös ympyrän jänne.

Kaikille kolmioille voidaan piirtää ympyrä (ulkoympyrä), joka kulkee jokaisen kolmion kärjen kautta. Nelikulmiolla tämä ei enää pidä paikkaansa. Jos ympyrä kulkee ensin kolmen kärjen kautta, voi neljäs kärki sijaita muuallakin kuin ympyrän kehällä. Jännenelikulmiot ovat siten nelikulmioiden erityinen luokka. Kuitenkin kaikki neliöt, suorakulmiot ja tasakylkiset puolisuunnikkaat ovat syklisiä nelikulmioita.

Jännenelikulmiolla on kaksi paria vastakkaisia kulmia. Voidaan osoittaa, että jännenelikulmiossa vastakkaiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia eli vastakkaisten kulmien summa on aina 180 astetta. Supplementtikulmaehto on myös välttämätön ehto sille, että nelikulmion kärkien kautta voidaan piirtää ympyrä.

Erityispiirteitä

Seuraavat ehdot ovat tasavertaisia keskenään. Niissä viitataan viereisten kuvien merkintöihin. Nelikulmio on konveksi ja syklinen jos ja vain jos

• vastakkaiset kulmat ovat supplemettikulmia eli niiden summa on 180 astetta. Viereisen kuvan merkinnöin $\alpha +\gamma =180^{\circ }$ ja $\beta +\delta =180^{\circ }$.
• kaikkien sivujen keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteessä O (Cantorin lause).
• kunkin kulman ulkokulma on yhtäsuuri kuin vastainen kulma. Esimerkiksi kulman $\beta$ ulkokulma on sama suuruinen kuin kulma $\delta$ itse.
• nelikulmion lävistäjien $AC$ ja $BD$ leikkauspiste $P$ toteuttaa pisteen potenssin eli että $e\cdot g=f\cdot h$.
• lävistäjien $p=AC=e+g$ ja $q=BD=f+h$ tulo on vastaisten sivujen tulojen summa eli Ptolemaioksen lauseen mukaan $p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d$.
• sivun ja lävistäjän välinen kulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun ja toisen lävistäjän välinen kulma viereisessä kulmassa. Nämä kulmat ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ja ovat siksi yhtä suuret. Viereisessä kuvassa samansuuruiset kulmat on samanväriset.
• edellinen havainto auttaa huomaamaan, että lävistäjien erottamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset: $\Delta AMB\sim \Delta DMC$ ja $\Delta DMA\sim \Delta CMB$.

Ominaisuuksia

Pinta-ala

Yleisen nelikulmion ala on, kun $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ on puolipiiri,

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\beta +\delta }{2}}}}.$

Koska syklisessä nelikulmiossa $\beta +\delta =180^{\circ }$ ja $\cos {\frac {\beta +\delta }{2}}=0,$ tulee pinta-alasta

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},$

mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana. Pinta-ala on suurin niiden nelikulmioiden joukossa, joiden sivut ovat samat kuin syklisellä nelikulmiolla.

Lävistäjien pituudet

Syklisen nelikulmion lävistäjät voidaan laskea seuraavasti:

$q=BD={\sqrt {(ac+bd){\frac {ab+cd}{ad+bc}}}}$

ja

$p=AC={\sqrt {(ac+bd){\frac {ad+bc}{ab+cd}}}}.$

Tulos tunnetaan nimellä Mahaviran lause.

Ympäröivän ympyrän säde

Syklisen nelikulmion ympyrän säteelle voidaan johtaa lauseke

$R={\frac {\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4A}},$

missa $A$ on nelikulmion pinta-ala.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 5.5.2016).
• Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste) Geometry. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.