Bézout’n lemma

Bézout’n lemma (myös Bézout’n identiteetti, Bézout’n yhtälö) on ranskalaisen matemaatikon Étienne Bézout’n (1730–1783) mukaan nimetty lukuteorian lause, jonka mukaan kokonaislukujen $a$ ja $b$ suurin yhteinen tekijä (syt) voidaan esittää muodossa $ax+by$, missä $x$ ja $y$ ovat kokonaislukuja. Luvut $x$ ja $y$ (joita kutsutaan myös Bézout’n luvuiksi) voidaan selvittää esimerkiksi Eukleideen algoritmilla.

Esimerkki

Lasketaan lukujen 33 ja 21 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla:

${\begin{aligned}33&=21\cdot 1+12\\21&=12\cdot 1+9\\12&=9\cdot 1+3\\9&=3\cdot 3+0\\\end{aligned}}$

Kolme on suurin yhteinen tekijä, koska se oli jakajana viimeisessä jakolaskussa. Kun suurin yhteinen tekijä halutaan esittää Bézout’n identiteetin mukaisessa muodossa $3=33x+21y$, lähdetään sijoittamalle Eukleideen algoritmin tuloksesta (yhtälöt alhaalta ylöspäin)

$3=12-9=12-(21-12)=2\cdot 12-21=2\cdot (33-21)-21=2\cdot 33-3\cdot 21$.

Eli $\mathrm {syt} (33,21)=3=33\cdot 2+21\cdot (-3).$ On huomionarvoista, että esitys ei ole uniikki; jos luvut $x$ ja $y$ ovat Bézout’n lukuja, myös luvut:

$\left\{\left(x+{\frac {kb}{\mathrm {syt} (a,b)}},\ y-{\frac {ka}{\mathrm {syt} (a,b)}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}$

ovat Bézout’n lukuja.

Katso myös

• Diofantoksen yhtälö