Alueellistettujen muuttujien teoria

Alueellistettujen muuttujien teoria (engl. Regionalized variable theory) esittää erään lähestymistavan käsitellä avaruudellisesti levittäytyvää tietoa ja suorittaa kerättyjen näytteiden perusteella estimointia tila-avaruudessa. Alueellistettujen muuttujien teoriaa sovellettiin ensimmäiseksi kaivosteollisuudessa malmioiden keskipitoisuuksien mallinnukseen, jota tarvittiin louhinnan ja tuotannon suunnittelussa. Menetelmä, jonka nimeksi on jäänyt geostatistiikka, sopii kuitenkin monenlaiseen maantieteellisen ja geologisen tiedon käsittelyyn. Menetelmää on käytetty malminarviointiin, sademäärien arviointiin, maaperän vedenläpäisevyyden tai maaperän kemiallisten pitoisuuksien arviointiin, kasvipeitteen, eläin- ja ihmispopulaatioiden ominaisuuksiin.

Perusteet

Alueellistettu muuttuja (engl. regionalized variable) on lukuarvolla ilmaistava suure, joka on paikkaan sidottu ja ympäristönsä synnyttämä. Sellainen voi olla kalliossa olevan mineraalin pitoisuus, sillä sen arvot vaihtelevat eri alueilla ja se sai nykyisen pitoisuutensa kuumassa magmassa tapahtuneessa syntyprosessissa ympäristönsä mineraalien sekoittuessa toisiinsa lähialueella. Alueellistumisessa on oleellista juuri kohteen arvon riippuvuus ympäristönsä pisteiden arvoista. Riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa ja on lopulta nolla. Alueellistettujen muuttujien teoria pyrkii hyödyntämään tällaisten suureiden riippuvuuvaikutusta laskennassa.

Alueellistettu muuttuja voi olla esimerkiksi tutkimusalueen korkeuden eli z-koordinaatin arvo tietyssä paikassa. Maaston korkeudet ovat alueellistuneita, koska maaston epätasaisuudet syntyvät eroosion erilaisten prosessien kautta. Rapautunut kiinteä aines liikkuu roudan työntämänä, kulkeutuu sadeveden mukana, lentää tuulessa, muokkaantuu eläinten kaivamisesta ja kasvien juurten työntäminä eri suuntiin. Lopulta maa-aines on asettunut satunnaisesti, mutta silti ennustettavasti tuntemiimme pinnanmuotoihin. Yksittäisen pisteen korkeus riippuu prosessissa ympäröivien muinaisten kohteiden korkeuseroista, mutta on itsekin ollut vaikuttamassa ympäristönsä pisteissä oleviin korkeusarvoihin. Näin on helppo nähdä, että alueellistunut muuttujia voi esiintyä yksi-, kaksi- tai kolmeulotteisissa ympäristöissä. Syntyprosessit vaikuttavat eri kohdissa oleviin arvoihin niin, että kohteiden välillä on selvä riippuvuus. Riippuvuuden avulla voidaan arvojen vaihtelun rakenteet selvittää ja hyödyntää tietoa esimerkiksi estimoinnissa.

Määritelmä: konvoluution avulla

Määritellään painofunktio $p(x)$, joka on määritelty origon ympäristössä. Usein ajatellaan, että painofunktio on symmetrinen origon suhteen ja että $p(x)=p(-x)$ missä suunnassa origosta katsoen hyvänsä. Painofunktion avulla määritellään funktion arvo kohdassa $x_{0}$

$f_{p}(x_{0})=\int p(y)f(x_{0}+y)dy=\int p(-y)f(x_{0}-y)dy.$

Painofunktion $p$, joka on origon suhteen symmetrinen funktio, peilaus origon suhteen on funktio ${\check {p}}$. Sen avulla voidaan kirjoittaa integraali uudelleen konvoluutiota käyttämällä

$f_{p}(x_{0})=\int p(-y)f(x_{0}-y)dy=\int {\check {p}}(y)f(x_{0}-y)dy=f*{\check {p}}.$

Tätä funktion $f$ painotettua keskiarvoa $f_{p}$ kutsutaan matematiikassa alueellistetuksi funktioksi ja tilastomenetelmissä alueellistetuksi muuttujaksi.

Esimerkki konvoluutiosta: näytteen keskipitoisuus

Otetaan funktiosta näyte N, jonka muoto tunnetaan. Merkitään indikaattorilla $k$ kaikki näytteen pisteet: $k(x)=1$, kun $x\in N$ ja $k(x)=0$, kun $x\notin N$. Silloin tilavuuden suuruus lasketaan

$V_{N}=\int k(x)dx.$

Valitaan painofunktioksi

$p(x)={\frac {1}{V}}k(x)$

ja kirjoitetaan konvoluution avulla näytteen keskipitoisuus kohdassa $x_{0}$

$f_{N}={\frac {1}{V}}f*{\check {k}},$

mikä on integraalimerkinnällä

$f_{N}(x_{0})={\frac {1}{V}}\int _{N}f(x_{0}-y)dy.$

Tämä on näytteen sisällä olevan suureen keskipitoisuus, joka on eräs suureen aluellistettu muuttuja. Suure (keskipitoisuus) ja muuttujan käsite ovat eri asioita. Tilastollisesti suureen varianssi ja muuttujan varianssit poikkeavat toisistaan ja ovat erilaisia tilastollisia satunnaismuuttujia.

Malmiarvioinnissa näytteen koko tulee huomioida analyysissä. Jos kaivoksen malmion louhinnassa tuotannossa käytetään 6×6×12 m³ kokoisia lohkoja mutta näytteet ovat vain 0,05×0,05×2 m³ kokoisia, ovat näiden malmipitoisuuksien jakaumat erilaiset. Vaikka keskipitoisuuksien keskiarvot olisivatkin eri kokoisilla lohkoilla ja näytteillä samat, vaihtelevat pienempien näytteiden keskipitoisuudet enemmän kuin suurten lohkojen keskipitoisuudet. Varianssien erilaisuus on geostatistiikassa ongelma, joka on voitettavissa alueellistettujen muuttujien menetelmillä.

Esimerkki konvoluutiosta: radioaktiivisuuden määrä

Kun yhden yksikön suuruinen massa radioaktiivista ainetta sijoitetaan origoon, leviää siitä ympäristöön säteilyä. Yhden yksikön suuruisen massan aktiivisuus on A ja siitä etäisyydellä d säteilyn aktiivisuus on enää $A{\frac {e^{-\lambda d}}{d}},$ kun $\lambda$ on säteilyn absorptio väliaineessa. Väliaineessa kohdassa $x$ olevan radioaktiivisen aineen määrä ilmaistaan lausekkeella $f(x)dx$ ja siitä leviää säteilyä kohtaan $x_{0}$ lausekkeen

$A{\frac {e^{-\lambda d(x_{0}-x)}}{d(x_{0}-x)}}f(x)dx$

ilmaiseman määrän verran. Silloin radioaktiivisuuden kokonaismäärä kohdassa $x_{0}$ on

$A(x_{0})=A\int f(x){\frac {e^{-\lambda d(x_{0}-x)}}{d(x_{0}-x)}}dx.$

Viimeinen lauseke on konvoluutio $Af*{\check {p}},$ missä origon suhteen symmetrinen painofunktio on $p(x)={\frac {e^{-\lambda d}}{d}}$. Aktiivisuuden määrä on tämän tulkinnan mukaan alueellistettu muuttuja.

Tilastollinen lähestymistapa

Matemaattisesti ajateltuna alueellistettu muuttuja on kohdassa $x$ olevan tutkittavan suureen arvo, joka on paikan funktio $f(x)$. Funktio on käytännön kokemusten mukaisesti varsin epäsäännöllinen. Sen arvot vaihtelevat sattumanvaraisesti, mutta mikäli siitä voidaan erottaa rakenteellisia piirteitä, voidaan sitä analysoida tiettyyn rajaan asti tilastollisesti. Alueellistettujen muuttujien teoriassa kiinnitetään huomiota muuttujan kahteen ominaispiirteeseen: satunnaiseen käyttäytymiseen ja rakenteelliseen vaihteluun. Muuttujasta yritetään selvittää mahdollisimman paljon rakenteellisen piirteen ominaisuuksia ja ilmaista ne matemaattisessa muodossa. Sitten yritetään löytää muuttujan arvojen riippuvuuksia autokorrelaation muodossa ja erottaa siitä puhdas satunnainen elementti (kohina). Lopuksi valitaan estimointiin liittyviä menetelmiä, joissa rakenteellisten piirteiden tuntemus ja korrelaation määrä voidaan hyödyntää tilastollisesti hyväksyttävällä tavalla.

Tutkittavan alueen voidaan ajatella olevan spatiaalisen ja stokastisen prosessin satunnaiskenttä. Alueellistetut muuttujat olisivat silloin satunnaiskentässä hetkellä "nyt" olevien arvojen realisaatio. Satunnaiskentän $Z(x)$ eri pisteiden satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan ja niiden realisaatiosta voidaan mitata riippuvuuden suuruus estimoimalla satunnaiskentän kovarianssin suuruudet. Yhden realisaation käyttäminen edellyttää kuitenkin, että satunnaiskenttä on jossakin määrin stationäärinen laajalta alueelta niin, että riippuvuudet saadaan selville tutkimalla kerättyjä näytteitä tilastollisesti.

Valittu suure tulee voida määrittää pienistä ja suurista näytteistä niiden keskiarvoina. Esimerkiksi malmiarvioinnissa keskiarvo tarkoittaa näytteen keskipitoisuutta. Näytteiden koko ja muoto vaikuttavat siten näytteiden arvoihin ja arvojen varianssiin. Näytteiden välimatkat ja suunnat vaikuttavat tulee suunnitella näytteiden arvojen välisen riippuvuuden selvittämiseksi. Autokorrelaation vaikutusmatka ja suuntaus määrää näytetiheyden eri tarkastelusuunnissa. Alueellistettujen muuttujien teoriassa on menetelmä huomioida näytteiden koon ja estimoitavien lohkojen kokoero.

Lähteet

• Matheron, Georges: The Theory Of Regionalized Variables And Its Applications. julkaisusarjasta "Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathématique de Fontainebleu", nro 5. Pariisi, Ranska: École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 1971. Verkkoversio (pdf) (viitattu 24.8.2015). (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Sichel, H.S.: New Methods in the Statistical Evaluation of Mine Sampling Data. Trans. Inst. Min. Metall. 61 (6): 261., 1952