Alkulukufunktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan luonnollista lukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää.[1][2][3]Funktion kaava on \scriptstyle\pi(x) (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.)

Funktion π(n) ensimmäiset 60 lukua.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

 x/\operatorname{ln}(x)\!

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi.

Littlewoodin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

\pi(x)>\operatorname{Li}(x) +\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

\pi(x)<\operatorname{Li}(x) -\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x.

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − Li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:

\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. A table of prime counts pi(x) to 1e16
  2. Algorithmic Number Theory, s. volume 1 page 234 section 8.8. MIT Press.
  3. Prime Counting Function MathWorld.
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Prime-counting function