Yksikköjuuri

Viidennet yksikköjuuret kompleksitasossa

Kolmannet yksikköjuuret kompleksitasossa.

Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1. Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön

$z^n = 1$

ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.

Moivren ja Eulerin kaavat

Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikkö­juuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärki­pisteet, kun yksi kärki­pisteistä on pisteessä 1. Yksikkö­juurten arvot voidaan esittää muodossa

$\cos {\frac {2 \pi}{k}} + i \sin {\frac {2 \pi}{k}}$

missä luku k saa kaikki kokonais­luku­arvot 0:sta n-1:een. Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan

$(cos \phi + i sin \phi)^n = cos (n\phi) + i sin (n\phi)$.

Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa

$e^{\frac {2 \pi i k}{n}}$ (k=0, 1, .., n-1).

Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua

$e^{\frac {2 \pi i }{n}}$

Sille käytetään myös merkintää $\epsilon_n$.

Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö

$z^n = q$,

missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0). Kun q voidaan aina esittää muodossa

$q = r e^{i \phi}$,

ovat yhtälön ratkaisut

$x = \sqrt[n]{z} e^{\frac{i \phi}{n}} \epsilon_n^k$.

Esimerkkejä

Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksi­tasoon piirretyn neliön kärki­pisteissä. Kolmannen yksikkö­juuren (ε₃^k) arvot ovat
1 sekä $\cos \frac{2\pi}{3} \pm i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$,
jotka muodostavat tasa­sivuisen kolmion. Kuudennen yksikkö­juuren (ε₆^k) vastaavasti
1 ja -1 sekä $\pm \cos \frac{2\pi}{3} \pm i \sin{\frac{2\pi}{3}} = \pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
, ja kahdeksannen (ε₈^k)
1, i, -1 ja -i sekä $\pm \cos \frac{\pi}{4} \pm i \sin \frac{\pi}{4} = \pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lähteet

• Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta osa 2 korkeakouluja varten, s. 181-182. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0994-0.
• Olli Lehto: Funktioteoria I-II, s. 8-10. Limes ry, 1975. ISBN 951-745-077-X.