Verrannollisuus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

A:B=\frac{A}{B} = k.

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko A \sim B tai A \propto B.[1][2]

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

A = kB.

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.[1][2]

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään [3]

A:B=\frac{A}{B} = k.

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

3m^2:6m^2=1:2

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.[3]

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

A:B=\frac{A}{B} = k,

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden A=3m^2 suuruisen seinän maalaamiseen kuluu B=0,25l maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

\frac{A}{B} = \frac{3m^2}{0,25l} = 12\tfrac{m^2}{l} = k.

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

\frac{C}{D} = \frac{6m^2}{0,50l} = 12\tfrac{m^2}{l} = k,

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

3m^2 \sim 0,25l ja 6m^2 \sim 0,5l

tai suureiden muuttujilla

A \sim B ja C \sim D

tai suureiden nimillä

\mbox{pinta-ala} \sim \mbox{maalin määrä}.

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät [1][2]

\frac{A}{B} = k \and \frac{C}{D} = k \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{C}{D}.

Suoraan verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan A \sim B ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan A = kB. [4]

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi k = 2,15 \tfrac{E}{kg} eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä h=km.

Kääntäen verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko \frac{1}{A} \sim B tai A \sim \frac{1}{B} (potenssina A \sim B^{-1}), ja yhtälö kirjoitetaan joko A = k\frac{1}{B} (potenssina A = kB^{-1}) tai AB = k.[5]

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan v \sim t^{-1}. Verrannollisuuskerroin k on silloin k=100 km (kilometriä) eli kuljettava matka, kun v=\tfrac{k}{t}.

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä A \sim B^2, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

A = kB^2

joka voidaan muuntaa

\sqrt{A} = \sqrt{kB^2} eli \sqrt{A} = bB,

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus \sqrt{A} \sim B.

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä E=\tfrac{1}{2}mv^2=kv^2 huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä A \sim B^3, jolloin suureet A ja ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

A = kB^3

voidaan muuntaa

\sqrt[3]{A} = bB

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus \sqrt[3]{A} \sim B.

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi k=270 \tfrac{kg}{m}, kun riippuvuus kirjitetaan yhtälönä P=kv^3.

Potenssiin verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun A^n \sim B^m eli A^\tfrac{n}{m} \sim B eli A \sim B^\tfrac{m}{n}.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli T^2 \sim R^3. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on k=1\tfrac{a^2}{AU^3} ja T^2=kR^3.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 49-53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)