Stefanin–Boltzmannin laki

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Stefanin–Boltzmannin laki on fysikaalinen laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin:

M = \sigma T^{4}\,.

Verrannollisuuskerrointa σ kutsutaan Stefanin–Boltzmannin vakioksi. Sen arvo on

\sigma = \frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3} = (5{,}670 400 \pm 0{,}000 040) \, \cdot \, 10^{-8} \, \mathrm{\frac{W}{m^2 K^4}}.

Siten musta kappale, jonka pinta-ala on 1 cm2, säteilee lämpötilassa 1000 K suunnilleen teholla 5,7 W.

Lain havaitsi kokeellisesti Jožef Stefan vuonna 1879. Teoreettisesti sen johti termodynamiikan pohjalta Ludwig Boltzmann vuonna 1884. Stefanin–Boltzmannin lain voi johtaa myös Planckin säteilylakia integroimalla.

Stefanin–Boltzmannin lain johtaminen Planckin laista integroimalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integroidaan Planckin laki kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian

u = \int_{0}^{\infty}u(\nu)d \nu 
= \frac{8 \pi h }{c^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\nu^3}{e^{h \nu / {kT}} - 1}d \nu.

Sijoitetaan x = h \nu / kT, dx = \left( h / kT \right) d \nu

u = \frac{8 \pi h }{c^3} \left( kT / h \right)^4 \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1}dx.

Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1}dx = \frac{\pi^4}{15}, jolloin

u = \frac{8 \pi^5 k^4}{15c^3h^3}T^4
= aT^4, missä a = 7,566 \times 10^{-16} \mathrm{J m^{-3} K^{-4}}

Laskeaksemme säteillyn (kokonais)energian per sekunti per pinta-ala absoluuttisessa lämpötilassa T, voimme ajatella säteilyn fotoneja kaasuhiukkasina, joiden keskinopeus on c. Silloin fotonivuo on

J = \frac{1}{4}N \bar{v}
= \frac{1}{4}Nc
, missä N on fotonien määrällinen tiheys.

Koska musta kappale on täydellinen absorboija, on se myös täydellinen emittoija, jolloin säteilty energia per sekunti, eli teho, I on \frac{1}{4}Nch \bar{v} = \frac{1}{4}uc, koska u = Nh \bar{v}. Nyt saamme

I = \frac{1}{4}uc
= \frac{ac}{4}T^4
= \sigma T^4
,

josta määrittelemme Stefanin–Boltzmannin vakioksi \sigma = \frac{ac}{4} = 5,67 \times 10^{-8} \  \mathrm{K^{-4} \ W \ m^{-2}}

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Stefanin–Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea.

Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee Marsin pinnan erilaisesta albedosta Auringon pintalämpötilaa ja planeetan omaa pintalämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan.

Vertailun vuoksi taulukko sisältää myös Pluton, vaikka sitä ei nykyisin enää luetakaan planeettoihin kuuluvaksi.

Planeetta Etäisyys Auringosta/AU Laskettu lämpötila/K Laskettu lämpötila/°C Havaittu lämpötila/°C
Merkurius 0,387 447 174 179
Venus 0,723 327 54 452
Maa 1,000 278 5 14
Mars 1,523 226 −48 −123–−60
Jupiter 5,203 122 −151 −153
Saturnus 9,541 90 −183 −185
Uranus 19,19 64 −210 −214
Neptunus 30,09 51 −223 −225
Pluto 39,51 44 −229 −236