Schifflerin piste

Neljän Eulerin suoran sijoittuminen kolmionsa ympäristössä. Schifflerin piste on näiden leikkauspisteessä.

Schifflerin piste on tasogeometriassa kolmioon liittyvä merkillinen piste. Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa pisteessä I (Kimberlingin luettelossa $\scriptstyle X_{1}$), joka ei kuulu Eulerin suoralle. Eulerin suorat kolmioille $\scriptstyle \triangle ABC$, $\scriptstyle \triangle ABI$, $\scriptstyle \triangle CAI$ ja $\scriptstyle \triangle BCI$ leikkaavat toisensa aina riippumatta referenssikolmion muodosta. Tätä pistettä on alettu kutsumaan Scifflerin pisteeksi (engl. Schiffler point, saks. Schiffler-Punkt, port. Ponto de Schiffler) ja se on luetteloitu Kimberlingin luettelossa tunnuksella $\scriptstyle X_{21}$.

Sijainti kolmiossa

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\frac {1}{\cos \beta +\cos \gamma }}\,:\,{\frac {1}{\cos \gamma +\cos \alpha }}\,:\,{\frac {1}{\cos \alpha +\cos \beta }}$

$={\frac {b+c-a}{b+c}}\,:\,{\frac {c+a-b}{c+a}}\,:\,{\frac {a+b-c}{a+b}},$

missä a, b, ja c ovat kolmion sivujen pituuksia ja $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$ ovat kolmion kulmia.

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

${\frac {a(s-a)}{b+c}}\,:\,{\frac {b(s-b)}{c+a}}\,:\,{\frac {c(s-c)}{a+b}}$

$={\frac {a}{\cos \beta +\cos \gamma }}\,:\,{\frac {b}{\cos \gamma +\cos \alpha }}\,:\,{\frac {c}{\cos \alpha +\cos \beta }}.$

Ominaisuuksia

Piste on isogonaalinen konjugaatti pisteelle $\scriptstyle X_{65}$.

Kun tarkastellaan konstruktiota, jossa kolmion viereen ja sisälle on piirretty ympyrät, muodostuu siihen kolme ceviaania, jotka leikkaavat toisensa Schifflein pisteessä. Ensin ulkokeskukset yhdistetään kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteeseen. Nämä janat leikkaavat kolmion sivuja kantapisteissä, johon kolmion kärjistä piirretyt ja Schifflerin pisteessä leikkaavat ceviaanit osuvat.

Edellisessä konstruktiossa piilee toinen tilanne, joka johtaa janojen kohtaamiseen Schifflein pisteessä. Kolmion viereen piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja ja sen jatkeita kolmessa pisteessä. Kun sivun jatkeiden sivuamispisteet yhdistetään keskenään janalla, peilautuu kolmion sivun BC sivuamispiste A' sen yli pisteeksi A". Kun näin toimitaan kahden muunkin vierusympyrän kanssa, saadaan kolme janaa AA", BB" ja CC", jotka leikkaavat Schifflein pisteessä.

Historia

Amatöörigeometrikko Kurt Schiffler (1896−1986) esitti Eulerin suorien leikkauspisteen olemassaolon. Pisteen olemassaolo todistettiin 1986, kun Schiffler, K., Veldkamp, G. R. ja van der Spek, W. A. ratkaisivat sen.

Lähteet

• Schiffler, Kurt: Problem 1018. Crux Mathematicorum, 1985, 11. vsk, s. 51. Artikkelin verkkoversio (PDF). Viitattu 12.10.2016. (englanniksi)
• Veldkamp, G. R. & van der Spek, W. A.: Solution to Problem 1018. Crux Mathematicorum, 1986, 12. vsk, s. 150–152. Artikkelin verkkoversio (PDF). Viitattu 12.10.2016. (englanniksi)