Kolmion merkilliset pisteet

Osa kolmion merkillisistä pisteistä asettuu Eulerin suoralle. Kuvassa näkyvät tunnetuimmat merkilliset pisteet: kolmion painopiste, ortokeskus, yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste ja kolmion keskinormaalien leikkauspiste.

Kolmion merkillisellä pisteellä tarkoitetaan geometriassa yleensä leikkauspistettä, jossa kolmioon liittyvät kolme samalla tavalla muodostettua suoraa tai janaa leikkaavat toisensa. Jo antiikin Kreikassa tiedettiin kolmion kulmanpuolittajien, korkeusjanojen, keskinormaalien ja keskijanojen muodostavan tällaisia pisteitä, koska kolmion muoto ei vaikuttanut janojen leikkautumiseen eli konkurrenssiin. Myöhemmin merkillisiin pisteisiin löytyi uusia ja varsin mutkikkaitakin tapauksia, joissa niissäkään kolmion muoto ei vaikuta pisteen syntymiseen.

Mikä tahansa kolmion lähellä oleva piste ei ole merkillinen piste. Se tulee voida määrittää sellaisen geometrisen toimenpiteen avulla, joka on mahdollista suorittaa kolmen eri kulman tai sivun funktiona muihin kolmion osiin nähden. Esimerkiksi kolmion painopiste on tämän perusteella merkillinen piste, koska se syntyy leikkauspisteenä jokaisesta kolmion kärjestä vedetystä, vastaisen sivun keskipisteeseen kulkevasta janasta. Toimenpiteen tulee olla myös symmetrinen, eli painopistettä määrittävän keskijanan tulee olla sama vedettiinpä se kärjestä A janalle BC tai kärjestä A janalle CB. Toimenpiteen tulee vielä lopuksi olla homogeeninen, eli yhdenmuotoisten kolmioiden merkilliset pisteet sijaitsevat samassa suhteellisessa paikassa.

Kimberlingin luettelo

Kimberlingin piste on yleisnimitys Clark Kimberlingin tutkimista ja luettelemista kolmion merkillisistä pisteistä. Osa pisteistä, neljä yllä lueteltua tapausta, tunnettiin jo antiikin Kreikassa, mutta osa on keksitty myöhemmin ja varsin monet vasta nykypäivinä. Julkaistussa luettelossa on yli 5 000 merkillistä pistettä. Luettelon pisteet on indeksoitu ja niitä voidaan merkitä lyhyesti joko $X_{i}$ tai $X(i)$ .

Kolmion merkilliset pisteet sijaitsevat tasolla suhteessa kolmion muotoihin, joten niiden paikka pitää ilmoittaa suhteellisilla koordinaateilla. Sijainti ilmoitetaan yleisesti käyttäen joko kolmion mittoja hyödyntäviä todellisia koordinaatteja, trilineaarisia koordinaatteja tai barysentrisiä koordinaatteja. Karteesisia eli suorakulmaisia koordinaatteja on tasogeometriassa kaksi, mutta trilineaarisia ja barysentrisiä koordinaatteja aina kolme. Merkillisillä pisteillä on keskinäisiä yhteyksiä, mikä tekee niistä matemaattisesti mielenkiintoisia tutkimuskohteita.

Merkillisiä pisteitä

Viimeistään antiikin aikana havaittiin, että muodostaan riippumatta kolmiolla on neljä erityisen säännön mukaan muodostettavaa konkurrenttia janaa tai suoraa: kulmanpuolittaja, keskijana, keskinormaali ja korkeusjana. Näiden viivojen leikkauspisteitä kutsuttiin kolmion merkillisiksi pisteiksi.

Antiikin merkilliset pisteet

Kolmion merkillisistä pisteistä neljä tunnettiin niinkin varhain kuin Eukleidesin teoksesta Alkeet. Nämä pisteet ovat:

• Kolmion kulmien kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki samassa kulmanpuolittajien leikkauspisteessä $X_{1}$. Tämä piste on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Se on aina kolmion sisällä.
• Kun kolmion sivujen keskipisteet yhdistetään kolmion vastakkaisen kulmauksen kärkeen, saadaan kolme keskijanaa, jotka kohtaavat samassa leikkauspisteessä, jota kutsutaan kolmion painopisteeksi. Piste on myös levymäisen kolmion fysikaalinen painopiste $X_{2}$. Se on aina kolmion sisällä.
• Kolmion sivujen keskipisteeseen piirretyt keskinormaalit kohtaavat keskinormaalien leikkauspisteessä $X_{3}$. Leikkauspiste on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Terävä­kulmaisen kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste on sen sisällä, tylppä­kulmaisella kolmiolla se on kolmion ulkopuolella. Suora­kulmaisella kolmiolla se sijaitsee kolmion hypotenuusan keskipisteessä.
• Kolmion kärkien ja vastakkaisten sivujen tai niiden jatkeiden väliset korkeusjanat kohtaavat yhdessä leikkauspisteessä. Tätä pistettä kutsutaan ortokeskukseksi $X_{4}$.

Tasasivuisella kolmiolla nämä kaikki neljä merkillistä pistettä yhtyvät samaksi pisteeksi.

Klassiset merkilliset pisteet

Klassisiin merkillisiin pisteisiin luetaan antiikin pisteiden lisäksi vielä seuraavat pisteet, jotka huomattiin paljon myöhemmin:

• Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste $X_{5}$
• Symmediaaninen piste$X_{6}$ (Lemoinen piste)
• Gergonnen piste $X_{7}$
• Nagelin piste $X_{8}$
• Mittenpunkt $X_{9}$
• Spiekerin piste $X_{10}$
• Feuerbachin piste $X_{11}$
• Fermat’n pisteet $X_{13}$ ja $X_{14}$
• Isodynaamiset pisteet $X_{15}$ ja $X_{16}$
• Napoleonin pisteet $X_{17}$ ja $X_{18}$
• Schifflerin piste $X_{21}$
• Steinerin piste $X_{99}$

Lähteet

• Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 15.4.2013.
• Kimberling, Clark: Clark Kimberling (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Evansvillen yliopisto: Encyclopedia of Triangle Centers