Multiplikatiivinen funktio

Wikipedia

Lukuteoriassa multiplikatiivisella funktiolla tarkoitetaan funktiota f, jolle kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a ja b pätee f(ab) = f(a) f(b). Jos ehto pätee myös kaikilla luvuilla a ja b jotka eivät ole keskenään jaottomia, sanotaan funktion olevan täydellisesti multiplikatiivinen.

[muokkaa] Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista, jotka ovat laajalti käytössä lukuteoriassa:

$φ$ (n): Eulerin fii $φ$ , niiden lukua n pienempien lukujen a lukumäärä, joilla a ja n ovat keskenään jaottomia.
$μ$ (n): Möbiuksen funktion, niiden n:n alkutekijöiden lukumäärä, jotka ovat neliöttömiä. (täydellisesti multiplikatiivinen).
syt(n,k): lukujen n ja k suurin yhteinen tekijä, missä k on kiinteä kokonaisluku.
d(n): luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärä,
$σ$ (n): kaikkien n:n positiivisten tekijöiden summa
σ_k(n): divisor function, joka on kaikkien luvun n positiivisten tekijöiden k:nsien potenssien summa. Erikoistapauksina
- $σ$ ₀(n) = d(n) ja
- $σ$ ₁(n) = $σ$ (n),
1(n): vakiofunktio, määritellään 1(n) = 1 (täydellisesti multiplikatiivinen)
Id(n): identtinen funktio, määritellään Id(n) = n (täydellisesti multiplikatiivinen)
Id_k(n): potenssifunktio, määritelty Id_k(n) = n^k kaikille luonnollisille luvuille (tai jopa kompleksiluvuille) k (täydellisesti multiplikatiivinen). Erikoistapauksina saadaan
- Id₀(n) = 1(n) ja
- Id₁(n) = Id(n),
$ε$ (n): funktio, joka on määritelty $ε$ (n) = 1 jos n = 1 ja = 0 jos n > 1, tunnetaan myös nimellä Dirichlet'n konvoluution multiplikatiivinen yksikkö tai yksikkö; Tämä kirjoitetaan toisinaan muodossa u(n), ettei sitä sekoiteta Möbiuksen funktioon $μ$ (n).
(n/p), Legendren symboli, missä p on kiinteä alkuluku (täydellisesti multiplikatiivinen).
$λ$ (n): Liouvillen funktio, jonka arvo on niiden alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n. Liouvillen funktio on täydellisesti multiplikatiivinen.
$γ$ (n), joka määritellään $γ$ (n)=(-1)^{$ω$ (n)}, missä additiivinen funktio $ω$ (n) on erillisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n.
Kaikki Dirichlet'n karakteristikat ovat täydellisesti multiplikatiivisia funktioita.

Esimerkki aritmeettisesta funktiosta, joka ei ole multiplikatiivinen on r₂(n) - kuinka monella tavalla luku n voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliöiden summana, esimerkiksi

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

ja siten r₂(1) = 4 ≠ 1. Tämä osoittaa, että funktio ei ole multiplikatiivinen. Kuitenkin r₂(n)/4 on multiplikatiivinen.